Le jeu des cinq dés

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Rallye: 17.I.01 ; catégorie: 3 ; domaine: OPN
Familles:

• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• DCP - Décomposer un nombre naturel

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Résumé

Décomposer 17 comme somme de 5 nombres pris parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6 une fois où tous les nombres sont différents et une fois où 3 termes sont les mêmes.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre la règle d’avancement des pions et la vérifier sur l’exemple : 2 + 5 + 6 + 3 + 3 = 19. (Cette règle est connue de nombreux élèves « Jeu de l’oie »)

- Pour trouver les nombres de Roland, procéder par essais successifs, non organisés, en respectant les trois conditions : nombres naturels de 1 à 6, tous différents, dont la somme est 17.

En procédant de manière systématique on peut par exemple commencer par 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 continuer en utilisant le 6 à la place du 5 : 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 et remplacer le 4 par le 5 pour arriver à la solution, unique : « 1, 2, 3, 5, 6 » car 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 17.

Ou, à partir du premier essai ci-dessus, se rendre compte qu’il manque 2 à la somme et mettre directement le 6 à la place du 4

- Pour trouver les nombres de Graziella, procéder par essais successifs, non organisés et trouver une ou deux solutions, sans savoir s’il y en a d’autres ;

Ou travailler de manière systématique en choisissant successivement le nombre qui apparaît trois fois sur les dés et envisager les six possibilités :

• avec 1, pris trois fois, on obtient 3 et le complément à 17 est 14, qu’on ne peut pas obtenir en deux dés ;
• avec 2, pris trois fois, on obtient 6 et le complément à 17 est 11, qu’on peut obtenir avec 5 et 6 ;
• avec 3, pris trois fois, on obtient 9 et le complément à 17 est 8, qu’on peut obtenir avec 2 et 6 ; mais pas avec 3 et 5, ce qui ferait un quatrième « 3 », ni avec 4 et 4 qui ne sont pas différents ;
• avec 4, pris trois fois, on obtient 12 et le complément à 17 est 5, qu’on peut obtenir avec 2 et 3 ; mais pas avec 1 et 4, ce qui ferait un quatrième « 4 »,
• avec 5, pris trois fois, on obtient 15 et le complément à 17 est 2, qu’on ne peut pas obtenir avec 1 et 1 ; qui ne sont pas différents ;
• avec 6, pris trois fois, on obtient 18 qui est supérieur à 17 il n’y a pas de solution.

- Exprimer finalement les trois possibilités pour Graziella : « 2, 2, 2, 5, 6 », « 3, 3, 3, 2, 6 », « 4, 4, 4 2, 3 » ou sous forme d’écriture additive :

  2 + 2 + 2 + 5 + 6 = 17 ; 
  3 + 3 + 3 + 2 + 6 = 17 ; 	
  4 + 4 + 4 + 2 + 3 = 17 

Notions mathématiques

addition, multiplication, entier naturel, combinatoire

Résultats

17.I.01

Points attribués sur 349 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète et correcte : la solution de Roland : « 1, 2, 3, 5, 6 » et les trois de Graziella « 2, 2, 2, 5, 6 », « 3, 3, 3, 2, 6 », « 4, 4, 4 2, 3 » (on ne tient pas compte des permutations des cinq nombres au sein d’une solution : par exemple « 2, 2, 2, 5, 6 », et « 2, 6, 2, 5, 2 », sont considérées comme une seule solution ; on ne pénalise pas les élèves qui ont donné plusieurs fois la même réponse en modifiant l’ordre des nombres)
• 3 points: Réponse avec une seule erreur : absence d’une solution ou solution ne répondant pas aux conditions
• 2 points: Réponse avec deux erreurs : absence d’une solution ou solution ne répondant pas aux conditions
• 1 point: Réponse avec trois erreurs
  ou une seule des quatre solutions trouvées
• 0 point: Incompréhension du problème