Factorielles

Identification

Rallye: 17.I.16 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: OPN, NU
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs

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Résumé

Déterminer le nombre de zéros qui "terminent" les nombres 22! et 27! .

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Observer le tableau et comprendre la règle de construction. (En mathématiques, on désigne les nombres de chaque ligne par le terme « factorielle ».)

- Vérifier les premières lignes et comprendre que le premier 0 en fin de nombre apparaît avec le couple de facteurs 2 et 5 de la décomposition (car 2 x 5 = 10), c’est-à-dire pour 5! = 120. Comprendre que toutes les lignes successives aboutiront donc à des multiples de 10 et que le deuxième 0 apparaîtra dès la ligne 10 ! avec un nouveau facteur 5 introduit dans la multiplication par 10.

- Considérer alors les nombres suivants qui apparaissent dans les produits et en particulier ceux qui contiennent des facteurs 5 : le troisième 0 en fin de nombre apparaîtra à la ligne 15! (du fait que la multiplication par 15), ce qui peut se vérifier par le calcul.

- De l’analyse des nombres suivants 16 = 2 x 2 x 2 x 2, 17, 18 = 2 x 3 x 3, 19, 20 = 2 x 2 x 5, 21 = 3 x 7, 22 = 2 x11, 23, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, 25 = 5 x 5, 26 = 2 x 13 et 27 = 3 x 3 x 3 déduire que le quatrième 0 en fin de nombre apparaît à la ligne 20! et se maintient pour les lignes 21! et 22!, ce qui vérifie l’affirmation d’Anna et qu’à la ligne 25! apparaîtront deux nouveaux 0 en fin de nombre, qui se maintiendront pour les lignes 26! et 27! ce qui contredit l’affirmation de Berthe et vérifie l’affirmation de Claire.

Ou : compter le nombre d’apparitions du facteur 5 dans les différentes décompositions :

• dans 5! il apparaît une fois (5) et donc il y a un 0 en fin de nombre
• dans 10! il apparaît deux fois (dans 5 et 10) et donc il y a deux 0 en fin de nombre
• dans 15! il apparaît trois fois (dans 5, 10 et 15) et donc il y a trois 0 en fin de nombre
• dans 20! il apparaît quatre fois (dans 5, 10, 15 et 20) et donc il y a quatre 0 en fin de nombre
• dans 25! il apparaît six fois (une fois dans 5, 10, 15, 20 et deux fois dans 25) et donc il y a six 0 en fin de nombre

Ou : Se limiter à décomposer 22! et 27! en facteurs premiers et compter les facteurs 5 qui, associés à autant de facteurs 2, donneront les facteurs 10 des factorielles :

22 ! = 1 x  2 x  3 x  (2²) x 5 x (2 x 3) x 7 x (2³) x (3²) x (2 x 5) x 11 x (2² x 3) x 13 x (2 x 7) x (3 x 5) x (24) x 17 x (2 x 3²) x 19 x (2² x 5) x (3 x 7) x (2 x 11). Il y a 4 facteurs 5, d’où 4 chiffres 0 en fin de 22! .

27 ! = 1 x 2 x 3 x (2²)  x 5 x (2 x 3) x 7 x (2³) x (3²) x (2 x 5) x 11 x (22 x 3) x 13 x (2 x 7) x (3 x 5) x (24) x 17 x (2 x 32) x 19 x (2² x 5) x (3 x 7) x (2 x 11) x 23 x (2³ x 3) x (5³) x (2 x 13) x 27. Il y a 6 facteurs 5, d’où 6 chiffres 0 en fin de 27!

Notions mathématiques

multiplication, décomposition des nombres, numération en base 10

Résultats

17.I.16

Points attribués sur 1197 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: La réponse juste et complète (Anna : vrai, Berthe : faux Claire : vrai) avec des justifications suffisantes
• 3 points: La réponse juste et complète avec des justifications insuffisantes pour une des affirmations
• 2 points: La réponse juste et complète, sans explications ou avec seulement l’affirmation d’Anne justifiée
• 1 point: Réponse basée sur le cycle des multiples de 5 sans remarquer que 25 contient deux facteurs 5 (Anna : vrai, Berthe : vrai, Claire : faux), avec explications correspondantes
• 0 point: Autre réponse ou incompréhension du problème