Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de zéros qui "terminent" les nombres 22! et 27! .
Analyse a priori
- Observer le tableau et comprendre la règle de construction. (En mathématiques, on désigne les nombres de chaque ligne par le terme « factorielle ».)
- Vérifier les premières lignes et comprendre que le premier 0 en fin de nombre apparaît avec le couple de facteurs 2 et 5 de la décomposition (car 2 x 5 = 10), c’est-à-dire pour 5! = 120. Comprendre que toutes les lignes successives aboutiront donc à des multiples de 10 et que le deuxième 0 apparaîtra dès la ligne 10 ! avec un nouveau facteur 5 introduit dans la multiplication par 10.
- Considérer alors les nombres suivants qui apparaissent dans les produits et en particulier ceux qui contiennent des facteurs 5 : le troisième 0 en fin de nombre apparaîtra à la ligne 15! (du fait que la multiplication par 15), ce qui peut se vérifier par le calcul.
- De l’analyse des nombres suivants 16 = 2 x 2 x 2 x 2, 17, 18 = 2 x 3 x 3, 19, 20 = 2 x 2 x 5, 21 = 3 x 7, 22 = 2 x11, 23, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, 25 = 5 x 5, 26 = 2 x 13 et 27 = 3 x 3 x 3 déduire que le quatrième 0 en fin de nombre apparaît à la ligne 20! et se maintient pour les lignes 21! et 22!, ce qui vérifie l’affirmation d’Anna et qu’à la ligne 25! apparaîtront deux nouveaux 0 en fin de nombre, qui se maintiendront pour les lignes 26! et 27! ce qui contredit l’affirmation de Berthe et vérifie l’affirmation de Claire.
Ou : compter le nombre d’apparitions du facteur 5 dans les différentes décompositions :
Ou : Se limiter à décomposer 22! et 27! en facteurs premiers et compter les facteurs 5 qui, associés à autant de facteurs 2, donneront les facteurs 10 des factorielles :
22 ! = 1 x 2 x 3 x (2²) x 5 x (2 x 3) x 7 x (2³) x (3²) x (2 x 5) x 11 x (2² x 3) x 13 x (2 x 7) x (3 x 5) x (24) x 17 x (2 x 3²) x 19 x (2² x 5) x (3 x 7) x (2 x 11). Il y a 4 facteurs 5, d’où 4 chiffres 0 en fin de 22! .
27 ! = 1 x 2 x 3 x (2²) x 5 x (2 x 3) x 7 x (2³) x (3²) x (2 x 5) x 11 x (22 x 3) x 13 x (2 x 7) x (3 x 5) x (24) x 17 x (2 x 32) x 19 x (2² x 5) x (3 x 7) x (2 x 11) x 23 x (2³ x 3) x (5³) x (2 x 13) x 27. Il y a 6 facteurs 5, d’où 6 chiffres 0 en fin de 27!
multiplication, décomposition des nombres, numération en base 10
Points attribués sur 1197 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 312 (59%) | 168 (32%) | 41 (8%) | 4 (1%) | 7 (1%) | 532 | 0.55 |
| Cat 8 | 219 (52%) | 160 (38%) | 18 (4%) | 6 (1%) | 16 (4%) | 419 | 0.66 |
| Cat 9 | 57 (42%) | 67 (49%) | 3 (2%) | 7 (5%) | 3 (2%) | 137 | 0.77 |
| Cat 10 | 36 (33%) | 54 (50%) | 11 (10%) | 2 (2%) | 6 (6%) | 109 | 0.97 |
| Total | 624 (52%) | 449 (38%) | 73 (6%) | 19 (2%) | 32 (3%) | 1197 | 0.65 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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