L'oliveraie

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Rallye: 17.I.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: GM
Famille:

• RO - Paver une figure de manière optimale

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Résumé

Trouver le maximum de "points" (des arbres) que l'on peut disposer sur un terrain rectangulaire de 44 mètres sur 34 mètres, en respectant les contraintes suivantes: la distance entre deux points doit être de 6 m au minimum et la distance entre le pourtour du rectangle et chaque point doit être de 3 m au minimum.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Prendre en compte la condition sur les distances entre les arbres et les limites du terrain et constater que la surface sur laquelle on peut planter les oliviers est un rectangle central de 38 (44 -  2 x 3) sur 28 (34 -  2 x 3) mètres.

- Imaginer différents réseaux réguliers de points dont le plus grand nombre sont sur le rectangle central :

1) en réseau quadrillé de maille 6 x 6, avec un point dans un angle, on peut placer 7 points sur la longueur et 5 sur la largeur, c’est-à-dire 35 oliviers (figure 1), avec des bandes de terrain « perdu » de 2 (38 – 6 x 6) mètres dans la largeur et 4 m (28 – 4 x 6) dans la longueur ;

2) en réseau à maille triangulaire équilatérale, après avoir déterminé la hauteur d’un triangle 3√3 = 5,196... ≈ 5,2, il y a deux possibilités :

• la première en plaçant 7 points sur la longueur, on peut arriver à 39 oliviers en 3 rangs de 7 et trois rangs de 6 (figure 2), car les rangs d’ordre pair ne peuvent pas avoir 7 oliviers puisque 6 x 6 + 3 = 39 > 38 ; il y a une bande de terrain « perdu » de 2 m dans la largeur et environ 2 m dans la longueur car 26 ≈ 5 x 5,2
• la deuxième (figure 3), en plaçant 5 points sur la largeur, on peut arriver à 40 oliviers en 8 rangs de 5. La largeur des bandes de terrain « perdu » est de 38 – 7(3√3) ≈ 1,6 et 28 – (4 x 6 + 3) = 1.

- Placer les points en travaillant éventuellement sur papier millimétré.

Notions mathématiques

alignement de points, réseau, triangle équilatéral, hauteur

Résultats

17.I.17

Points attribués sur 650 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: 40 oliviers, avec un dessin et les explications (calculs ou dessin très précis)
• 3 points: 40 oliviers, avec dessin et explications peu précises
  ou 39 oliviers avec un dessin et les explications (calculs ou dessin très précis)
• 2 points: 39 oliviers, avec dessin et explications peu précises
  ou de 35 à 38 oliviers avec un dessin et les explications
• 1 point: 35 oliviers sur trame quadrillée
  ou 24 oliviers (6 par ligne et 4 par colonne) avec dessin et détail de la recherche
• 0 point: Incompréhension du problème