L’artisan

Identification

Rallye: 17.II.18 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: AL, OPN
Familles:

• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQ2 - Résoudre une équation du 2e degré

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver un nombre tel que le produit de la différence entre 13 et ce nombre par la somme de 24 et du triple de ce nombre soit égal au produit de 13 et de 24, dans un contexte de compensation d’un manque à gagner.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que 312 € (= 13 × 24 €) est ce que l'artisan aurait gagné avec la vente de tous ses vases. C’est donc la somme qu’il veut tirer de la vente des vases qui restent non fendus.

- Se rendre compte que le nombre de vases non fendus est un diviseur de 312 inférieur à 13 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12.

- Effectuer la division de 312 par chacun d'eux et considérer les cas dans lesquels les quotients sont des multiples de 24 augmentés d'un multiple de 3. C’est le cas des divisions par 1, 4 et 8. Écarter 1 parce que 312 : 1 = 312 et 312 – 24 = 288 = 3 × 96, mais 96 ne, peut pas être le nombre des vases fendus.

- Écarter de même 4 parce que 312 : 4 = 78 et 78 – 24 = 54 = 3 × 18, mais ce cas n’est pas non plus acceptable car 18 > 13. Trouver enfin que 312 : 8 = 39 et que 39 – 24 = 15 = 3 × 5, 8 est donc le nombre des vases restés en bon état.

- En déduire que le nombre de vases fendus est 5 (13 – 8).

Ou : construire un tableau comme le suivant :

- Observer que le produit de la vente diminue quand le nombre de vases fendus augmente et arrêter la construction du tableau. Conclure que le produit de la vente de 312 € est obtenu avec 5 vases fendus.

Ou : Noter x le nombre de vases fendus et écrire l’équation (13 – x) (24 + 3x) = 312. Cette équation du second degré s’écrit : 3x² – 15x = 0, d’où 3x (x – 5) = 0 qui, par la règle d’annulation d’un produit, donne x = 0 ou x = 5. Éliminant la solution x = 0, conclure que le nombre de vases fendus est 5.

Ou : Noter x le nombre de vases fendus et y celui des vases en bon état. Obtenir le système des deux équations : x + y = 13 et y (24 + 3x) = 13 × 24. Par substitution, en déduire l’équation à deux inconnues : y (24 + 3x) = (x + y) × 24, d’où 3xy = 24 x. Comme x ≠ 0, on obtient y = 8 et comme x + y = 13, on a x = 5.

Notions mathématiques

multiplication, division, règle d'annulation d'un produit, équation du second degré, système d'équations

Résultats

17.II.18

Points attribués sur 23 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Solution correcte (5) avec explication claire montrant l'unicité de la solution
• 3 points: Solution correcte avec explication sans référence à l’unicité de la solution
• 2 points: Solution erronée à cause d’une erreur de calcul, mais procédure correcte
• 1 point: Début de raisonnement correct (par exemple écriture de l'équation ou explication que le nombre des vases restés en bon état doit être un diviseur de 312)
  ou réponse (5) sans aucune explication
• 0 point: Incompréhension du problème

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