Banque de problèmes du RMT
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Dénombrer les nombres naturels de 1 à 99 : dont les deux chiffres sont "pairs"; dont les deux chiffres sont "impairs"; formés d'un chiffre "pair" suivi d'un chiffre "impair"; formés d'un chiffre "impair" suivi d'un chiffre "pair".
Analyse de la tâche a priori
- Constater ou se rappeler que les nombres de 0 à 99, sont composés d’un ou deux chiffres, qu’il faut ici observer selon le critère « noir » ou «rouge » (impair ou pair si on considère ces chiffres comme des nombres naturels d’un seul chiffre).
- Se rappeler qu’il y a 100 nombres de 0 à 99, en vue des vérifications ou pour une première estimation. Imaginer que, en cas de répartition équitable, chaque boîte contiendrait 25 billets.
- Analyser plus en détail l’écriture des nombres composés de chiffres noirs et constater qu’il y en a 5 d’un seul chiffre (1, 3, 5, 7, 9) puis pour les nombres de deux chiffres trouver les 25 (5 x 5) possibilités en combinant les chiffres des dizaines et ceux des unités. Conclure qu’il y aura 30 nombres (25 + 5) dans la boîte N.
- Le cas des chiffres « rouges» est différent du précédent. Il y a bien 5 nombres d’un seul chiffre rouge sur le (0, 2, 4, 6, 8) mais il n’y en a que 20 (4 x 5) de deux chiffres rouges en combinant les quatre possibilités restantes pour les chiffres des dizaines (2, 4, 6, 8) et les cinq possibilités pour les chiffres des unités. On arrive ainsi à 25 (5 + 20) nombres qui s’écrivent avec des chiffres rouges seulement. Il y aura 25 nombres dans la boîte R.
- Les nombres bicolores sont de deux chiffres. Il y a cinq possibilités de commencer par un chiffre noir : chiffre des dizaines 1, 3, 5, 7, 9 combinés avec les cinq cas d’un deuxième chiffre rouge, des unités, 0, 2, 4, 6, 8, ce qui conduit à 25 nombres dans NR .
- Pour les autres nombres bicolores, il n’y aura que 20 combinaisons des quatre chiffres rouges des dizaines 2, 4, 6, 8 avec les cinq chiffres noirs des unités, 1,3,5,7,9. Il y aura 20 nombres dans RN. Ou, écrire les cent nombres en utilisant les deux couleurs et procéder par comptage un à un des nombres de chaque catégorie.
- Formuler la réponse : La boîte N en aura le plus : 30 et la boîte RN en aura le moins : 20. Puis rédiger les « explications » pouvant aller de dispositions ordonnées où les combinaisons sont bien visibles à un simple inventaire des nombres de chaque type, écrits en couleur. Valider éventuellement les réponses en calculant les nombres de R et de NR et vérifier que la somme des nombres répartis est 100
Cette analyse a priori, partiellement hypothétique, n'a pas été vérifiée par une analyse a posteriori des copies (peu nombreuses et disséminées dans les sections).
numération, base dix, nombre naturel, chiffre, parité, dénombrement
Points attribués sur 138 classes finalistes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 27 (39%) | 9 (13%) | 9 (13%) | 5 (7%) | 19 (28%) | 69 | 1.71 |
| Cat 5 | 20 (29%) | 10 (14%) | 8 (12%) | 8 (12%) | 23 (33%) | 69 | 2.06 |
| Total | 47 (34%) | 19 (14%) | 17 (12%) | 13 (9%) | 42 (30%) | 138 | 1.88 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Il n'y a pas d'analyse a posteriori pour ce problème.
Des versions futures sont en préparation, qui permettront de décrire les procédures, obstacles et erreurs.
Selon les résultats obtenus, on peut penser que les obstacles sont importants, d'autant plus qu'il s'agit de classes finalistes.
Problème inspiré par: Chiffres impairs (02.F.04.
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