Banque de problèmes du RMT
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Trouver un nombre de 3 chiffres comportant un chiffre 0 qui diminue de 441 en omettant le 0.
- Comprendre que le « 0 » du prix réel est soit le chiffre des dizaines, soit celui des unités.
- Se rendre compte que si le « 0 » est le chiffre des dizaines, la perte est un multiple de 10 (ou se termine par « 0 ») puisque (exemple 907 devient 97, perte 907
– 97 = 810) le chiffre des unités est le même dans le prix réel et le prix erroné. Comme la perte de l’énoncé, 441, n’est pas un multiple de 10, il faut abandonner ce cas.
- Analyser le cas où le « 0 » est le chiffre des unités par quelques exemples pour se donner un « ordre de grandeur de la perte en passant du nombre de trois chiffres à celui de deux chiffres : 630 devient 63, perte 630 – 63 = 567, 960 devient 96, perte 854, ... Comprendre ainsi que le nombre des centaines est déterminant pour s’approcher de la perte effective. 9 centaines donne une perte située de l’ordre de 8 à 9 centaines, 6 centaines donne une perte de l’ordre de 5 à 6 centaines. En déduire que le prix cherché a 5 ou 4 comme chiffre des centaines puisque la perte est de 441.
- Continuer par la recherche du chiffre des dizaines, par essais successifs organisés : 540 – 54 = 486, 550 – 55 = 495 (ons’éloigne),530–53=477,..., 510–51=459, 490-49=441, 480–48=432, ...
(on s’éloigne et on ne trouvera pas d’autre solution).
Ou : après avoir compris que le « 0 » est le chiffre des unités, poser une addition du genre: ab + 441 = ab0. Pour obtenir « 0 » b vaut 9 et l’addition précédente devient: a9 + 441= a90, d’où a = 4, et le prix correct est 490, seule solution possible.
Ou : poser l’algorithme écrit de la soustraction pour les deux cas :
constater qu’il faut renoncer au premier cas ; examiner le second cas, reconstituer la soustraction : b = 9 et a = 4 (9 – 5 ou 8 – 4) pour arriver au nombre initial 490.
Ou, par un raisonnement plus généralisé, comprendre que n centaines devenant n dizaines, la perte est la différence entre 100 x n et 10 x n, c’est-à-dire 90 x n et que la transformation de m dizaines en m unités représente une perte de 10 x m – 1 x m = 9 x m. La perte totale est donc 90 x n + 9 x m = 441. Le multiple de 90 qui précède 441 est 360 (4 x 90) auquel on peut ajouter 81 = 9 x 9 pour arriver à 441.
Le nombre cherché est donc composé de 4 centaines et 9 dizaines : 490. (En partant du multiple de 90 qui suit 441, 450 (5 x 90), il faudrait retrancher 1 x 9 pour arriver à 441, le nombre cherché est alors composé de 5 centaines moins 1 dizaine, c’est-à-dire aussi 490.)
numération, opérations
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Idée tirée de N. Rouche, Du quotidien aux mathématiques. Ellipses 2006
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