Banque de problèmes du RMT
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Déterminer tous les couples de nombres décimaux avec un chiffre après la virgule, dont le produit est 6.
Analyse de la tâche a priori
- Vérifier que le produit de 7,5 et 0,8 est bien 6, sur une calculatrice et « à la main », pour se rendre compte que la règle de la grand-mère n’est pas vraie pour tous les produits car les deux chiffres après la virgule peuvent être des « 0 », qui ne s’écrivent pas.
- Comprendre d’abord que l’un des deux facteurs présente un 5 comme chiffre des dixièmes.
- Chercher d’autres couples de nombres décimaux d’un chiffre après la virgule dont le produit est 6, en sachant que l’un des facteurs est de la forme ...,5 (5 comme chiffre des dixièmes). Essayer par exemple toutes les divisions de 6 successivement par 0,5 ;1, 5 ; ... ; c’est-à-dire 6 : 0,5 = 12 ; 6 : 1,5 = 4 ; 6 : 2,5 = 2, 4 ; 6 : 3,5 = 1,7428.... ; 6 : 4,5 = 1,333... ; 6 : 5,5 = 1,0909... ; 6 : 6,5 = 0.923... ; 6 : 7,5 = 0,8 ; 6 : 8,5 = ... et constater, en continuant bien au-delà de 6 : 8,5, qu’il n’y en a que deux qui conviennent et conduisent aux couples 2,4 ;2,5 et 7,5 ; 0,8 (déjà connu).
Ou : penser à 600, par exemple, à la place de 6,00 et décomposer 600 en facteurs premiers : 600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5. Parmi les couples de nombres dont le produit est 600, on ne doit prendre en compte que ceux dont les chiffres des unités sont différents de 0 pour obtenir, en revenant au produit 6, que ceux ayant un chiffre après la virgule différent de 0. C’est-à-dire qu’il faut éviter des nombres composés de facteurs 2 et 5 simultanément. Il n’y a donc que 2 x 2 x 2 = 8 et 2 x 2 x 2 x 3 = 24 d’une part, 3 x 5 x 5 = 75 et 5 x 5 = 25 d’autre part.
Ou : imaginer le problème dans un cadre géométrique comme la recherche de tous les rectangles de 6 dm2 dont les mesures des côtés ont un nombre de 1 chiffre après la virgule, en dm, ou sont un nombre entier en cm -non multiple de 10. On est ainsi ramené à la recherche des couples de diviseurs de 600, dans l’ensemble des nombres naturels (1 ; 600), (2 ; 300), ... (8 ; 75), ... (20 ; 30), (24 ; 25) dont deux seuls conviennent.
Ou : se fonder sur les règles de multiplication des fractions et rechercher les couples tels que a/b x c/d = 600/100 en dressant l’inventaire des dénominateurs tels que b x d = 100 et qu’il ne faudra retenir que les fractions qui s’écrivent sous forme de nombres décimaux d’un chiffre exactement après la virgule.
Cette analyse a priori, partiellement hypothétique, n'a pas été vérifiée par une analyse a posteriori des copies (peu nombreuses et disséminées dans les sections).
nombre décimal, produit, dixième, centième, chiffre après la virgule, diviseur, multiple
sur 171 classes finalistes de 19 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 16 (25%) | 9 (14%) | 22 (35%) | 12 (19%) | 4 (6%) | 63 | 1.67 |
| Cat 7 | 11 (20%) | 2 (4%) | 23 (41%) | 12 (21%) | 8 (14%) | 56 | 2.07 |
| Cat 8 | 6 (12%) | 2 (4%) | 13 (25%) | 17 (33%) | 14 (27%) | 52 | 2.6 |
| Total | 33 (19%) | 13 (8%) | 58 (34%) | 41 (24%) | 26 (15%) | 171 | 2.08 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Il n'y a pas d'analyse a posteriori pour ce problème.
Des versions futures sont en préparation, qui permettront de décrire les procédures, obstacles et erreurs.
Selon les résultats obtenus, on peut penser que les obstacles sont importants en catégorie 6, et encore en catégorie 7, d'autant plus qu'il s'agit de classes finalistes.
Voir aussi Toujours 6(II)
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