Nombres impairs

Identification

Rallye: 15.F.17 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: NU, LR
Familles:

• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre de nombres impairs, supérieurs à 9 500 et inférieurs à 95 000 qu'il est possible de former avec les chiffres 0, 1, 5, 8, 9.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Se rendre compte que les nombres impairs de 4 chiffres, supérieurs à 9 500, doivent avoir 9 comme chiffre des milliers et 1 ou 5 comme chiffre des unités, le 0 étant toujours positionné à gauche dans les dizaines de milliers. On obtient trois nombres impairs : 9581, 9851, 9815.

- Pour déterminer combien il y a de nombres impairs, composés de 5 chiffres, inférieurs à 95 000, et éviter les oublis, il convient d'adopter une procédure organisée.

- Tous les nombres impairs devront se terminer par 1, 5 ou 9. Pour ceux qui se terminent par 1, le chiffre des dizaines de milliers sera 5, 8 ou 9, d'où les trois possibilités suivantes : 5 .. .. .. 1; 8 .. .. .. 1; 9 .. .. .. 1;

• Dans le premier cas, les chiffres manquants, 0-8-9, peuvent être combinés de toutes les manières possibles (089, 098, 809, 890, 908, 980) et on obtient alors six nombres impairs se terminant par le chiffre 1.
• dans le second cas, en suivant le même raisonnement, on obtient six autres nombres impairs se terminant par le chiffre 1;
• dans le troisième cas, seuls deux nombres sont possibles car le 0 doit obligatoirement être le chiffre des milliers (90581 et 90851).

Au total, il y a donc 6 + 6 + 2 = 14 nombres impairs qui se terminent par le chiffre 1.

Pour les nombres impairs se terminant par 5, il y a aussi trois possibilités : 1 .. .. .. 5; 8 .. .. .. 5; 9 .. .. .. 5. Les deux premières possibilités donnent chacune 6 nombres impairs, la dernière possibilité n'en donnant que 4. Au total, il y a donc 6 + 6 + 4 = 16 nombres impairs qui se terminent par le chiffre 5. Pour les nombres impairs se terminant par 9, il y a aussi trois possibilités: 1 .. .. .. 9; 5 .. .. .. 9; 8 .. .. .. 9, chaque possibilité permettant d'obtenir 6 nombres impairs, il y a donc en tout 6 x 3 = 18 nombres impairs qui se terminent par 9. Au final, ce sont donc 3 + 14 + 16 + 18 = 51 nombres impairs qu'il est possible d'obtenir.

Ou : procéder par un raisonnement de type combinatoire : considérer que pour obtenir un nombre impair à 5 chiffres, il y a trois possibilités pour le chiffre des unités (1, 5, 9 ), trois possibilités pour les dizaines de milliers en excluant le 0 et le chiffre utilisé pour les unités, il y a trois possibilités pour le chiffre des milliers (le 0 et les deux autres chiffres non encore utilisés), deux possibilités pour le chiffre des centaines (les deux chiffres restant) et une possibilité pour le chiffre des dizaines (le dernier chiffre non encore utilisé). Au total, 3 x 3 x 3 x 2 x 1 = 54 nombres impairs. Cependant, 6 nombres impairs sont supérieurs à 95 000 (95081, 95801, 98051, 98501, 98015, 98105) et il convient de les soustraire du total. 54 - 6 = 48. En dernier lieu, il faut ajouter les 3 nombres impairs de 4 chiffres supérieurs à 9 500. 48 + 3 = 51.

Ou : construire des tableaux de nombres de 9500 à 95000 qui répondent aux conditions (ne contiennent pas les chiffres 2, 3, 4, 6 et 7, qui se terminent par 1, 5, 9, qui n’ont pas deux chiffres égaux) et de manière organisée, par exemple, de 9500 à 9999, de 10000 à 11000, de 50000 à 60000, de 80000 à 90000, de 90000 à 100000.

Notions mathématiques

écriture des nombres, parité, numération, combinatoire

Résultats

Les résultats n'ont pas été conservés ou ne sont pas encore disponibles.

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