Banque de problèmes du RMT
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Déterminer tous les couples de nombres décimaux avec un chiffre après la virgule, puis tous les couples de nombres décimaux avec deux chiffres après la virgule, dont le produit est 6.
Analyse de la tâche a priori
- Vérifier que le produit de 7,5 et 0,8 est bien 6, sur une calculatrice et « à la main », pour se rendre compte que la règle de la grand-mère n’est pas vraie pour tous les produits car les deux chiffres après la virgule peuvent être des « 0 », qui ne s’écrivent pas.
- Comprendre d’abord que l’un des deux facteurs présente un 5 comme chiffre des dixièmes.
- Chercher d’autres couples de nombres décimaux d’un chiffre après la virgule dont le produit est 6 en tenant compte que l’un des facteurs est de la forme ...,5 (5 comme chiffre des dixièmes). Essayer par exemple toutes les divisions de 6 successivement par 0,5, 1,5, etc. (6 : 0,5 = 12, 6 : 1,5 = 4 ; 6 : 2,5 = 2, 4 ; 6 : 3,5 = 1,7428.... ; 6 : 4,5 = 1,333... ; 6 : 5,5 = 1,0909... ; 6 : 6,5 = 0.923... ; 6 : 7,5 = 0,8 ; 6 : 8,5 = ...) et constater, en continuant bien au-delà de 6 : 8,5, qu’il n’y en a que deux qui conviennent et conduisent aux couples 2,4 ; 2,5 et 7,5 ; 0,8 (déjà connu).
Ou : penser à, par exemple, 600 à la place de 6,00 et décomposer 600 en facteurs premiers : 600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5. Parmi les couples de nombres dont le produit est 600, on ne doit prendre en compte que ceux dont les chiffres des unités sont différents de 0 pour obtenir, en revenant au produit 6, que ceux ayant un chiffre après la virgule différent de 0. C’est-à-dire qu’il faut éviter des nombres composés de facteurs 2 et 5 simultanément. Il n’y a donc que 2 x 2 x 2 = 8 et 2 x 2 x 2 x 3 = 24 d’une part, 3 x 5 x 5 = 75 et 5 x 5 = 25 d’autre part.
Ou : imaginer le problème dans un cadre géométrique comme la recherche de tous les rectangles de 6 dm2 dont les mesures des côtés ont un nombre de 1 chiffre après la virgule, en dm, ou sont un nombre entier en cm -non multiple de 10. On est ainsi ramené à la recherche des couples de diviseurs de 600, dans l’ensemble des nombres naturels (1 ; 600), (2 ; 300), ... (8 ; 75), ... (20 ; 30), (24 ; 25) dont deux seuls conviennent.
Ou : se fonder sur les règles de multiplication des fractions et rechercher les couples tels que a/b x c/d = 600/100 en dressant l’inventaire des dénominateurs tels que b x d = 100 et qu’il ne faudra retenir que les fractions qui s’écrivent sous forme de nombres décimaux d’un chiffre exactement après la virgule. - La recherche des couples de nombres décimaux ayant chacun deux chiffres après la virgule et dont le produit est 6 exige une procédure économique, par exemple celle qui se réfère au cadre géométrique (rectangles de 6 dm2 dont les mesures des côtés sont un nombre entier de mm, non multiple de 10. Il faut alors faire l’inventaire des couples de diviseurs de 60000, comme il y en beaucoup (30 couples), on peut observer la décomposition en facteurs premiers de 60000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 et se rendre compte que, pour éviter les multiples de 10, il faut éviter de regrouper un facteur 2 et un facteur 5 et ne considérer que 54 = 625, avec son complémentaire 25 x 3 = 96 et l’autre possibilité 3 x 54 = 1875 et son complémentaire 25 = 32.
Cette analyse a priori, partiellement hypothétique, n'a pas été vérifiée par une analyse a posteriori des copies (peu nombreuses et disséminées dans les sections).
nombre décimal, produit, dixième, centième, millième, chiffre après la virgule, diviseur, multiple
sur 31 classes finalistes de 6 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 8 (40%) | 10 (50%) | 2 (10%) | 0 (0%) | 0 (0%) | 20 | 0.7 |
| Cat 10 | 3 (27%) | 4 (36%) | 3 (27%) | 0 (0%) | 1 (9%) | 11 | 1.27 |
| Total | 11 (35%) | 14 (45%) | 5 (16%) | 0 (0%) | 1 (3%) | 31 | 0.9 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
La réussite est très faible en catégorie 9 comme en catégorie 10. (Les effectifs bas ne permettent pas de décider si la différence d'une catégorie à l'autre est significative.
L'obstacle se situe au niveau des nombres de deux chiffres après la virgule.
La question sur les nombres de 1 chiffre après la virgule est mieux réussie (Voir Toujours 6 (I)
voir aussi Toujours 6 (I)
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