Solidarité pour l'Afrique

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Rallye: 15.I.15 ; catégories: 7, 8, 9 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs

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Résumé

Décomposer 5900 en une somme de termes 190, 120 et 70 où le terme 190 (issu d'un raisonnement annexe) doit figurer un maximum de fois.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre, comme il est indiqué dans l’énoncé, qu’il est impossible d’acheter des lits complets avec le montant disponible, parce que 5900 n’est pas un multiple de 190 (120 + 70). En fait, 5900 = 31 x 190 + 10.

- Organiser une recherche en partant du haut : étant donné qu’il n’est pas possible d’acheter 31 couples sommier- matelas, car il reste 10 euros, essayer premièrement avec 30. Il resterait 200 euros (5900 – 190 x 30), mais ce nombre n’est divisible ni par 70, ni par 120. On ne peut pas utiliser ainsi entièrement la somme des 5900 euros. Réduire le nombre N de couples sommier-matelas jusqu’à ce que le reste soit divisible ou par 70 ou par 120. Construire alors un tableau du genre :

   N: Nombre de lits complets   Différence entre 5900 et 190 x N 
             31                               10
             30                              200
             29                              390
             28                              580
             27                              770

- Observer que le premier des restes qui satisfait la condition précédente est 770, multiple de 70.

- Conclure que Lorenzo achètera 27 couples sommier-matelas et 11 sommiers supplémentaires ; donc 27 matelas et 38 sommiers.

Ou aborder le problème algébriquement en désignant par x le nombre de matelas et y le nombre de sommiers, et traduire les contraintes du problème par la relation 120x + 70y = 5900, qui est une équation qui se réduit à 12x + 7y = 590.

- Rechercher les solutions entières positives, de l’équation précédente, par essais organisés, par des tableaux de valeurs, etc. pour trouver les 7 couples (6 ;74), (13 ; 62), (20 ; 50), (27 ; 38), (34 ; 26), (41 ; 14), (48 ; 2).

- Choisir, parmi les 7 solutions trouvées, celle qui permet de former le plus grand nombre de lits complets : c’est-à- dire 27 matelas et 38 sommiers.

Notions mathématiques

opération, multiple, équation, systématique

Résultats

15.I.15

Sur 79 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (27 matelas, 38 sommiers) avec explications
• 3 points:
• 2 points:
• 1 point:
• 0 point: Incompréhension du problème