Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le temps nécessaire pour une fusée d'atteindre la Lune, sachant que sa vitesse initiale est de 1 cm/s et que cette vitesse double chaque seconde.
Analyse a priori de la tâche:
- Comprendre qu’à chaque seconde la fusée parcourt le double de la distance qu’elle a parcouru la seconde précédente.
- Partant de 1 cm pour la première seconde, faire un tableau des distances parcourues pendant chaque seconde et de la distance parcourue depuis le départ.
- Arrêter le calcul quand la distance parcourue depuis le départ dépasse 380 000 km, soit 38 000 000 000 cm. Le nombre de lignes de calcul est le nombre de secondes qu’il faut à la fusée pour atteindre la Lune. On aura à écrire 36 lignes de calculs, la distance totale parcourue en 36 secondes par la fusée est de 68 719 476 735 cm, pour une vitesse atteinte dans la dernière seconde de 171 800 km/s, soit moins que celle de la lumière.
Calcul expert pour les enseignants : La somme des n premiers termes de la progression géométrique de raison 2, à partir de 1 cm est (2n – 1) cm (résultat de la factorisation de an – 1 = (a–1)(an-1+ an-2+…+1) ou raisonnement par récurrence.
Le nombre n est le temps en secondes qu’il faut pour la fusée pour parcourir (2n – 1) cm. La condition cherchée est donc le plus petit entier tel que (2n – 1) ≥ 3,8x1010. Considérant que 2n > (2n – 1) et appliquant le logarithme décimal aux deux membres de cette inégalité, on obtient l’équation : nlog2 > 10 + log(3,8).
La calculette donne la condition n > 35,14.
En 36 secondes, la fusée aura dépassé la Lune.
puissance de 2, unité, longueur, série géométrique
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