Les tirelires de Robert

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Rallye: 15.II.13 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: OPN
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• DCP - Décomposer un nombre naturel

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Résumé

Déterminer trois nombres dont le produit est 30 et dont le produit d'eux-mêmes augmentés du quantité identique est 560.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Décomposer 30 en trois facteurs différents et constater, par une recherche organisée, qu’il n’y a que quatre décompositions 1 x 2 x 15 – 1 x 3 x 10 – 1 x 5 x 6 – 2 x 3 x 5. Ajouter un même nombre à chacun des facteurs de chaque décomposition pour trouver si les nouveaux facteurs donnent un produit de 560.

Par exemple 1 x 2 x 15 devient (1+1) x (2+1) x (15+1) =2 x 3 x 16 = 96 puis (1+2) x (2+2) x (15+2) = 3 x 4 x 17 = 204, puis 4x5x18 = 360 puis 5x6x19= 570, qui dépasse 560.

La décomposition cherchée est 2 x 3 x 5 qui devient 3 x 4 x 6 = 72, puis 4 x 5 x 7 = 120, puis 5 x 6 x 8 = 240, puis 6 x 7 x 9 = 378 et finalement puis (2+5) x (3+5) x (5+5) = 7 x 8 x 10 = 560. Robert a donc ajouté 5 euros aux contenus initiaux qui étaient de 2, 3 et 5 euros.

- Vérifier que les autres décompositions initiales ne permettent pas d’atteindre 560 et en déduire que la solution du problème est unique

Ou : partir des décompositions de 560 en produits de trois facteurs différents. Vu que 560 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 7, on peut éliminer les facteurs 1 ou 2 et les facteurs supérieurs à 15 vu l’impossibilité de revenir à des facteurs initiaux positifs et dont le produit sera 30. Il reste à examiner 7 x 10 x 8, 14 x 10 x 4.

(C’est le premier de ces deux cas qui permet de revenir à une décomposition de 30 en trois facteurs : 2 x 3 x 5)

Ou trouver au hasard les trois nombres, mais sans pouvoir se prononcer sur l’unicité.

Notions mathématiques

multiplication, nombre naturel, décomposition, facteur, commutativité

Résultats

15.II.13

Sur 141 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse exacte (une seule solution : 2, 3, et 5) avec explications (les décompositions explicites de 30 ou 560) et la vérification que la solution est unique
• 3 points: Réponse exacte avec explications incomplètes sans certitude de l’unicité ou sans vérifications
• 2 points: Réponse exacte (2, 3, 5) sans autres explications
  ou procédure explicite correcte mais avec erreur de calcul
• 1 point: Début de recherche permettant de voir que des triplets de nombres ont été envisagés, mais sans aboutir
• 0 point: Incompréhension du problème