Banque de problèmes du RMT
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Déterminer trois nombres dont le produit est 30 et dont le produit d'eux-mêmes augmentés du quantité identique est 560.
- Décomposer 30 en trois facteurs différents et constater, par une recherche organisée, qu’il n’y a que quatre décompositions 1 x 2 x 15 – 1 x 3 x 10 – 1 x 5 x 6 – 2 x 3 x 5. Ajouter un même nombre à chacun des facteurs de chaque décomposition pour trouver si les nouveaux facteurs donnent un produit de 560.
Par exemple 1 x 2 x 15 devient (1+1) x (2+1) x (15+1) =2 x 3 x 16 = 96 puis (1+2) x (2+2) x (15+2) = 3 x 4 x 17 = 204, puis 4x5x18 = 360 puis 5x6x19= 570, qui dépasse 560.
La décomposition cherchée est 2 x 3 x 5 qui devient 3 x 4 x 6 = 72, puis 4 x 5 x 7 = 120, puis 5 x 6 x 8 = 240, puis 6 x 7 x 9 = 378 et finalement puis (2+5) x (3+5) x (5+5) = 7 x 8 x 10 = 560. Robert a donc ajouté 5 euros aux contenus initiaux qui étaient de 2, 3 et 5 euros.
- Vérifier que les autres décompositions initiales ne permettent pas d’atteindre 560 et en déduire que la solution du problème est unique
Ou : partir des décompositions de 560 en produits de trois facteurs différents. Vu que 560 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 7, on peut éliminer les facteurs 1 ou 2 et les facteurs supérieurs à 15 vu l’impossibilité de revenir à des facteurs initiaux positifs et dont le produit sera 30. Il reste à examiner 7 x 10 x 8, 14 x 10 x 4.
(C’est le premier de ces deux cas qui permet de revenir à une décomposition de 30 en trois facteurs : 2 x 3 x 5)
Ou trouver au hasard les trois nombres, mais sans pouvoir se prononcer sur l’unicité.
multiplication, nombre naturel, décomposition, facteur, commutativité
Sur 141 classes de Suisse romande:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 19 (30%) | 21 (33%) | 9 (14%) | 10 (16%) | 4 (6%) | 63 | 1.35 |
| Cat 7 | 9 (23%) | 13 (33%) | 2 (5%) | 15 (38%) | 1 (3%) | 40 | 1.65 |
| Cat 8 | 2 (5%) | 4 (11%) | 3 (8%) | 15 (39%) | 14 (37%) | 38 | 2.92 |
| Total | 30 (21%) | 38 (27%) | 14 (10%) | 40 (28%) | 19 (13%) | 141 | 1.86 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
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