La fanfare de carnaval

Identification

Rallye: 15.II.18 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Famille:

• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer un nombre multiple de 3, supérieur à 3 x 25, inférieur à 6 x 25, tel que diminué de 1 est divisible par 4, diminué de 2 est divisible par 5, diminué de 3 est divisible par 6.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Lire l’énoncé et comprendre que, lorsqu’un musicien quitte le défilé, le rang dans lequel il était devient incomplet et qu’il faut donc modifier le nombre de personnes par rang pour que tous soient à nouveau complets.

- Comprendre que si les rangs de 3, puis 4, puis 5, et puis 6 sont tous complets, le nombre total de musiciens restants est successivement, un multiple de 3, de 4, de 5 et de 6 et que, simultanément, les séquences cherchées se composent de quatre nombres consécutifs, dans l’ordre décroissant.

Chercher d’abord des multiples de 3 supérieurs à 78 qui valent un de plus qu’un multiple de 4, (à la suite du départ du musicien qui a mal aux pieds), et en vérifiant si le nombre diminué de 1 est un multiple de 4 : 78 : non ; 81 : oui ; 84 : non ; 87 : non, 90 : non ; 93 : oui 96 : non, 99 : non, etc.

Constater ainsi que les différentes possibilités se retrouvent de 12 en 12 :

  (81 ; 80 ... ; ... ), (93 ; 92 ; ... ;... ), (105 ; 104 ;... ;... ), 
  (117 ; 116 ; ... ;... ), (129 ; 128 ; ... ;...), (141 ; 140 ; ... ; ...), ...

- Parmi les séquences précédentes chercher celles dont les multiples de 4 valent un de plus qu’un multiple de 5 (à la suite du départ de celui qui meurt de soif) et constater qu’une seule convient, avec un multiple de 4 se terminant par 6 :

   ... (117 ; 116 ; 115 ; ...),

- Vérifier que le quatrième nombre de la séquence retenue est un multiple de 6.

Ou : comprendre que le nombre cherché doit être compris entre 78 (26x3) et 147 (24x6 +3).

Puis répondre successivement aux autres conditions : les multiples de 3 moins 1 doivent êtres des multiples de 4, qui doivent devenir multiples de 5 lorsqu’on enlève 1, etc.

On peut alors utiliser une stratégie du genre du crible d’Eratosthène : écrire tous les multiples de 3 possibles : 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120 123, 126, 129 132, 135, 138, 141, 144 ; de ces 23 multiples ne conserver que les 6 qui sont précédés d’un multiple de 4 (nombres impairs de la forme 4m + 1) : 81, 93, 105, 117, 129, 141, puis ne conserver que ceux qui valent 2 de plus qu’un multiple de 5. Il n’y a plus qu’une possibilité : 117, qui, diminué de 3 donne un multiple de 3, pair, c’est-à- dire un multiple de 6.

Notions mathématiques

multiplication, division, multiple, diviseur

Résultats

15.II.18

Sur 38 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse « 117 » avec justifications : séquence (117 ; 116 ; 115 ;114), vérification de l’unicité
• 3 points: Réponse « 117 » avec explications incomplètes, sans vérification de l’unicité, ...
• 2 points: Réponse 57 ... et/ou 117 .... avec explications (sans contrôle des conditions sur le nombre de rangs)
• 1 point: Début de recherche cohérente
• 0 point: Incompréhension du problème

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