Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de la forme (n x 1) + (n-1) x 2 + (n - 2) x 3 + ... + 1 x n (somme d'une diagonale de la table de multiplication) le plus proche de 5000.
Analyse a priori de la tâche:
- Lire l’énoncé, comprendre la manière dont sont construits les nombres de la suite et vérifier les huit premiers exemples donnés.
- Chercher éventuellement quelques-uns des termes suivants de la suite, en remplissant la table et additionnant les produits en diagonale ; (les deux termes qui encadrent 1000 : 969 et 1140 peuvent aussi être vérifiés).
- Organiser les termes en regard des rangs, sous forme d’un tableau
rang: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 17 18 ... terme: 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 ... 969 1140 ...
- Chercher la règle de passage d’un terme de la suite au suivant, en constatant qu’il s’agit d’ajouter successivement 1+ 2 ; 1 + 2 + 3 ; 1 + 2 + 3 + 4 ; (ou les nombres « triangulaires » 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; ...).
Par exemple pour passer du 3e au 4e on fait 10+1+2+3+4=20, puis pour atteindre le 5e :20+15=35 et le 6e 35+21=56,...
Ou : chercher le lien fonctionnel entre le rang et le terme. À cet effet, on peut remarquer que le 4e terme est multiple de 4, de 5 mais pas de 6, que le 5e est multiple de 5,de 7 mais pas de 6,le 6e est multiple de 7, de 8 mais pas de 6, le 7e est multiple de 7, 4 et 3 mais ni de 8 ni de 9, ...
Une hypothèses est de partir des produit s de deux rangs successifs : 2 (1 x 2) ; 6 (2 x 3) ; 12 (3 x 4), 20 ; 30 ; 42 ; ... et constater que cette suite ne croît pas assez rapidement. Une autre hypothèse est de partir des produits de trois rangs successifs : 6 (1 x 2 x 3) ; 24 (2 x 3 x 4) ; 60 (3 x 4 x 5) ; 120 ; 210 ; et de constater que cette nouvelle suite semble proportionnelle à la suite cherchée.
En suivant cette piste, découvrir que le facteur de proportionnalité est 1/6 et envisager la formule n(n + 1)(n + 2)/6 pour le terme de rang n.
Vérifier que cette formule est valable pour les dix exemples donnés et ceux qui ont été calculés par la suite et l’adopter. (Du point de vue du mathématicien, il faudrait évidemment une démonstration par induction)
Calculer les termes proches de 5000 par exemple : 25 => 2925, ... , 30 => 4960 31 => 5456 et conclure que c’est le 30e terme qui est le plus proche de 5000.
Ou : compléter tous les alignements obliques et calculer les sommes correspondantes (jusqu’à 31 x 31)
suite, nombre naturel, formule, fonction
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