Découpage étrange

Identification

Rallye: 23.I.18 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• DEM - Effectuer une démonstration
• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/CP - Comparer des aires et/ou des périmètres

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Résumé

Découvrir et expliquer une « illusion » visuelle dans un déplacement de figures qui semble transformer un rectangle de 6 × 8 carreaux en un carré de 7 × 7 carreaux.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Lire la description des opérations géométriques et la vérifier sur les figures.

- Se rendre compte que l’aire du rectangle de 6 × 8 est 48 (carreaux) alors que celle du carré de 7 × 7 est 49 et qu’il y a une « apparition » d’un 49e carreau, d’où un « conflit » entre l’observation des figures et la conservation de leur aire.

- Se convaincre que les déplacements des pièces conservent l’aire, en conclure qu’il y a une imprécision dans les figures et la rechercher par l’une des démarches suivantes par exemple (il y en a de nombreuses) :

- vérifier les aires des pièces : 21 pour le triangle, 27 pour le trapèze (correspondant aux 48 du rectangle) et, semble-t-il, 1/2 pour le petit triangle (ce qui ne correspond pas au 49 du carré) ; ou vérifier les dispositions et la translation sur le quadrillage ;

- ou vérification arithmétique des dimensions du rectangle de la figure d dont l’aire est 48, une des dimensions est 7 et l’autre est 48/7 ≈ 6,86. Cette figure n’est donc pas un carré, le trapèze y est décalé de 0,14, ou il y a un espace non visible sur la figure entre le triangle et le trapèze ;

- ou voir que le déplacement du trapèze ne suit pas une diagonale de carré du quadrillage, mais une direction voisine ;

- ou agrandir la figure pour distinguer l’espace entre les deux pièces ;

- ou se rendre compte que le petit triangle rectangle n’est pas isocèle (ses côtés de l’angle droit mesurent 1 et 6/7 ≈ 0,86) ce qui montre que le côté inférieur du trapèze n’est pas sur la ligne du quadrillage mais un peu plus haut (de ≈ 0,14).

- Répondre à la question par « non » (l’affirmation n’est pas vraie) « c’est une illusion » ; puis rédiger une explication.

Notions mathématiques

aire, rectangle, découpage

Résultats

23.I.18

Points attribués, sur 305 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: L’illusion est perçue et exprimée avec une justification claire (contradiction liée à la non conservation des aires), avec détail du calcul des dimensions du « faux carré » (7 × 48/7) ou autre calcul correct de dimensions
• 3 points: L’illusion est perçue et exprimée, mais la justification ne présente aucun calcul de mesures (seulement un dessin précis ou agrandi sur lequel on « voit » le décalage ou observation que la translation ne se fait pas dans la direction des diagonales de carreaux, …)
• 2 points: L’illusion est perçue et exprimée mais la justification se limite à la constatation que le « faux carré » est un rectangle, (sans calculs)
• 1 point: L’illusion semble perçue mais est expliquée seulement par la constatation que l’aire totale est modifiée (de 48 à 49)
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou : réponse « l’affirmation d’Antoine est vraie » car les aires sont modifiées dans le déplacement