ARMT

Banca di problemi del RMT

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centre

Il foulard

Identificazione

Rally: 14.II.05 ; categorie: 3, 4, 5 ; ambito: GP
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

In un quadrato pavimentato con triangoli, rettangoli e quadrati, ricercare i rapporti tra i lati e le aree delle parti.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Osservare il disegno e lavorare sul confronto delle tre strisce in cui il quadrato resta suddiviso: esse hanno stessa area ma sono costituite da figure diverse in forma e numero.

- Ricavare dal confronto a due a due delle strisce che: un quadrato è equivalente a tre rettangoli (confronto tra striscia a sinistra e striscia centrale) un triangolo rettangolo è equivalente ad un rettangolo (poiché quattro rettangoli e quattro triangoli sono equiestesi come si può osservare dal confronto tra striscia a sinistra e quella a destra).

- Dedurre dal disegno e dalle considerazioni fatte sulle equivalenze tra le figure che il quadrato che rappresenta il fazzoletto può essere ricoperto utilizzando o solo quadrati (ne servono 9) o solo rettangoli (ne servono 27). Poiché i triangoli sono equivalenti ai rettangoli, si potrebbe pensare che il quadrato possa essere pavimentato anche con 27 triangoli. Non è invece possibile utilizzare solo tali figure: i triangoli, infatti, dovrebbero essere uniti a due a due lungo l’ipotenusa a formare rettangoli “doppi” (cioè equivalenti ciascuno a due piccoli rettangoli); per la pavimentazione se ne potrebbero utilizzare al massimo 26 per un totale di 13 rettangoli “doppi”, ma rimarrebbe nel quadrato una parte “vuota” (equivalente ad un rettangolo).

Oppure: procedere in modo empirico, per esempio con il ritaglio preciso di quadrati (rispettivamente, rettangoli e triangoli) e pavimentazione con essi del quadrato o per misura dei lati per determinare i rapporti tra le aree

Nozioni matematiche

lato, area, lunghezza, rettangolo, triangolo, quadrato, misura, rapporto, pavimentazione,

Risultati

14.II.04

Su 249 classi di 5 sezioni (RZ, PR, GE, PG, LO) partecipanti alla prova II del 14° RMT

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 331 (38%)28 (34%)9 (11%)8 (10%)6 (7%)821.15
Cat 428 (33%)24 (29%)12 (14%)5 (6%)15 (18%)841.46
Cat 512 (14%)23 (28%)15 (18%)7 (8%)26 (31%)832.14
Totale71 (29%)75 (30%)36 (14%)20 (8%)47 (19%)2491.59
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Strategie risolutive più frequenti:

- Confronto ed equivalenze di figure;

- Ritaglio e tassellazione del quadrato di base (meno utilizzata della precedente)

Errori più frequenti

Gli errori più frequenti sono originati dalle errate riproduzioni in genere su carta quadrettata.

In particolare, i bambini si riferiscono a rettangoli e a triangoli rettangoli considerando “l’immagine mentale” di quelle figure geometriche, piuttosto che i modelli proposti (la situazione reale). Il problema diventa: ricopri con quadrati uguali fra loro, con rettangoli tutti uguali e con triangoli rettangoli uguali, il quadrato di base.”

Si evidenzia in qualche elaborato di categoria 3 il non riconoscimento delle forme (confusione fra quadrato e rettangolo) Sono assegnati, in percentuale variabile secondo le sezioni, parecchi 0 punti legati all’incomprensione del problema (per esempio: disegno o sovrapposizione di tutti i tipi di figure per pavimentare uno stesso quadrato-foulard); a questo punto sorge il dubbio che l’incomprensione sia innanzitutto relativa al testo del problema.

Osservazioni

Dai protocolli esaminati sembra emergere:

1) il privilegiare l’osservazione visiva per contare le forme con successiva rappresentazione iconica piuttosto che l’attività manipolativa di ritaglio e sovrapposizione

2) la difficoltà ad individuare un’unità di misura;

3) la difficoltà a riconoscere l’equivalenza delle figure (ad esempio: equiestensione per somma di 1 quadrato che vale 3 rettangoli o anche 2 triangoli + 1 rettangolo…);

Il problema è risultato difficile soprattutto per le categoria 3 e 4 dove 3 e 4 punti sono attribuiti, come si è visto, ad un numero esiguo di elaborati.

Si nota, per contro, un considerevole miglioramento in categoria 5.

Indicazioni didattiche

Rispetto alla costruzione del concetto di area il problema potrebbe essere utilizzato durante una fase già avanzata del processo in quanto rappresenta una sintesi fra polo geometrico, polo grandezza e polo numerico (Douady-Perrin-Glorian 1989), anche se quest’ultimo non appare in modo evidente.

Proprio a questa situazione potrebbero essere legate le difficoltà emerse, soprattutto nelle categorie 3 e 4, a causa di una somministrazione “prematura”, forse non in senso assoluto ma in rapporto al lavoro svolto nelle classi. L’enunciato, lungo e complesso, può aver causato fraintendimenti e difficoltà di comprensione.

Per andare più lontano

Dopo questa analisi, il problema è stato proposto nella classe quarta di Clara Bisso, classe dove un gruppo aveva lavorato su “Il foulard” l’anno precedente durante la prova del 14o RMT (sbagliando la riproduzione su carta). Dopo la prova il problema era stato somministrato a tutta la classe, per la correzione che segue ogni prova, ed erano emerse soluzioni corrette ottenute con un ragionamento su confronto/equivalenza di figure.

Somministrato, in questa nuova fase, alla classe organizzata in 6 gruppi, il problema sembrava costituire una novità per i bambini. Due gruppi hanno trovato la soluzione corretta, un gruppo si è “impapinato” con i triangoli (siccome avanzava dello spazio hanno “arrotondato” per eccesso il numero dei triangoli), un altro ha riprodotto erroneamente le figure falsandone le misure (quell’immagine mentale di cui si è detto precedentemente), due gruppi di alunni deboli hanno mostrato difficoltà nella comprensione del testo.

Tutti i gruppi hanno fatto ricorso alla riproduzione o a riproduzione e ritaglio (con una certa imprecisione). Durante la messa in comune “si è squarciato il velo” e gli allievi hanno cominciato ad operare confronti fra figure individuando le equivalenze.

Alcune osservazioni I risultati della gara e le palesi difficoltà incontrate dai bambini di quarta, nonostante tutto il lavoro svolto con loro sull’argomento area, portano a diversi interrogativi sia sull’enunciato, come ipotizzato in precedenza, sia su aspetti cognitivi legati alla costruzione del concetto di area e suggerisce di non sottovalutare aspetti basilari importanti come il confronto fra oggetti e l’equivalenza di figure. Aspetti che ci sembra vengano troppo spesso considerati come “intuitivamente semplici”.

Il gruppo di lavoro proporrà un nuovo enunciato volto a limitare le difficoltà di interpretazione e le ambiguità e proporrà la nuova versione del problema in diverse classi.

È così che il gruppo ha proceduto con il problema de Le due lettere di cui è in via di sperimentazione una nuova versione dell’enunciato.

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