L'octogone plié

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Rallye: 14.II.13 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/D - Comparer des aires par découpage

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Résumé

Comparer l'aire d'un octogone à celle d'un hexagone.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Voir que l’aire de l’hexagone d’Hélène est la moitié de celle de l’octogone d’Octave.

- Deux justifications possibles, entre autres, évaluant l’aire du rectangle disparu :

Raisonnement 1 :

- Voir que l’octogone régulier est constitué de 8 triangles isocèles égaux (triangles de base), ayant leurs sommets au centre. Puis découper ainsi le rectangle RM en triangles rectangles :

- Tous les triangles rectangles sont égaux (superposables, isométriques, …).

- Il y en a 16 formant l’octogone puisque deux d’entre eux reconstituent un triangle isocèle de base. (en gras sur le dessin) 8 d’entre eux forment le rectangle disparu dont l’aire est donc la moitié de l’aire de l’octogone.

- L’hexagone d’Hélène est le complémentaire dans l’octogone d’Octave du rectangle disparu. Son aire est donc la moitié de celle de l’octogone.

Raisonnement 2 :

- Découper l’octogone par les diagonales verticales et horizontales.

- Elles forment une croix dont le carré central a des côtés de même longueur que les côtés de l’octogone. Les 4 triangles rectangles isocèles qui complètent la croix ont pour hypoténuses des côtés de l’octogone. Ils peuvent donc recouvrir exactement le carré central, selon les pointillés.

- Les branches de la croix sont formées de 4 rectangles égaux (invariance de la figure par rotations de 90°).

- Le rectangle disparu RM est formé de deux tels rectangles et de 4 triangles, de même que l’hexagone d’Hélène. Ils ont donc même aire, l’aire de l’hexagone est donc la moitié de celle de l’octogone.

Ou, par un calcul algébrique : tracer la hauteur du trapèze A (de mesure h) et observer que le côté d’un carré, dont la diagonale est le côté de l’octogone, mesure h√2 ; la grande base du trapèze mesure 2h+ h√2, la petite base mesure h√2 et l’aire de l'hexagone est 2h2(1+ √2). Calculer ensuite l’aire du rectangle RM: h√2 (2h+ h√2) = 2h2(1+ √2). Les deux aires sont égales.

Notions mathématiques

polygone, aire, octogone, hexagone, pliage

Résultats

14.II.13

Points attribués sur 72 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (l’aire de l’hexagone est la moitié de celle de l’octogone) avec raisonnement complet
• 3 points: Réponse correcte mais explication inachevée
• 2 points: Tentative de subdivisions qui permettent de confronter les aires des parties du dessin mais sans la réponse juste
• 1 point: Début de raisonnement
• 0 point: Aucune réponse, ou réponses fausses.