Rubans et perles

Identification

Rallye: 14.II.15 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: LR
Familles:

• GEN - Générer et tester des solutions (partielles) possibles
• LO - Effectuer des déductions
• LO/NU - Effectuer des déductions avec des contraintes numériques

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre minimum de perle que peuvent comprendre 2 rubans sachant: les perles sont bleues ou blanches, les deux rubans comptent le même nombre total de perles, chaque perle blanche est suivie d’au moins deux perles bleues, il n'y jamais plus de trois perles bleues à la suite, un ruban compte deux perles bleues de plus que l’autre.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre les règles de construction des deux rubans de perles

- Etre conscient qu’il s’agit d’obtenir deux rubans avec un nombre total minimum de perles (le même pour chacun), l’un avec deux perles bleues de plus que l’autre.

- Comprendre que, dans un ruban, il s’agit d’enfiler des perles bleues (b) et des perles blanches (B) avec une règle minimisant l’usage des perles bleues, c’est-à-dire : bbBbbBbbBbb... et que, en revanche, pour l’autre ruban, il est nécessaire de trouver une règle qui maximalise l’usage des perles bleues bbbBbbbBbbb...

- Se rendre compte que, avec les règles précédentes, après avoir enfilé 11 perles sur chacun des deux rubans, il y aura au moins deux perles bleues aux extrémités et il y aura une perle bleue en plus sur le second. Comme les deux constructions sont périodiques (de respectivement 3 et 4 perles), deux perles blanches (B) se retrouvent simultanément toutes les 12 (ppcm de 3 et 4) perles. Les perles blanches se retrouveront ensemble après 24 perles et, donc, la première fois que les deux rubans complets auront une différence de 2 perles bleues est au moment où chacun a 23 perles. (Les règles de construction des deux rubans garantissent que 23 est le nombre cherché.)

Ou : Procéder par essais (utilisant des dessins ou des schémas) et arriver à la solution progressivement par exemple par un comptage régulier des perles en construisant les deux rubans simultanément :

Notions mathématiques

déduction, hypothèse

Résultats

14.II.15

Points attribués sur 72 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (23) et bien argumentée qui montre qu’il s’agit du minimum possible
• 3 points:
• 2 points:
• 1 point:
• 0 point: Incompréhension du problème

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