Banque de problèmes du RMT
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Décider qui a pris deux jetons particuliers lors du partage de 18 jetons, portant un des nombres: 1 (3x), 2 (2x), 3 (2x), 5 (2x), 10 (3x), 20 (3x), 25 (2x), 50 entre 3 amis. On sait que chacun a pris le même nombre de jetons et que leurs sommes sont identiques. Le 3 figure sur les jetons de l'un des amis et la somme de deux jetons d'une autre collection vaut 22. Les jetons particuliers sont l'autre 3 et le 50.
- Après avoir vérifié qu’il y a bien 18 jetons, calculer la somme des nombres (213) et la diviser par 3 pour trouver la somme (71 = 213 : 3) obtenue par chacun et organiser les 18 nombres donnés pour trouver comment on peut obtenir 71 comme somme de six d’entre eux :
50, 25, 25, 20, 20, 20, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1
- Constater qu’il n’y a qu’une seule somme dont 50 est l’un des six termes (25 ou 20 sont trop grands, il faut un terme 10 et un seul, un terme 5 et un seul, ...), la décomposition (I) : 50 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1, qui pourrait être celle d’André car elle contient un terme 3.
Avec les nombres qui restent, constater qu’il n’y a plus que deux décompositions de 71 (les deux 25 ne peuvent être pris ensemble, avec 25 il faut un 20 et un seul, ...) :
En conclure que les jetons de Paul sont ceux de la décomposition (II) car ce sont les seuls où l’on trouve une somme partielle de deux termes valant 22 (20 + 2). Donner la réponse : c’est André qui a le jeton 50 (et l’un des 3) et Paul qui a l’autre jeton sur lequel est écrit le nombre 3.
Ou : Voir que Paul, ayant 22 avec les deux seuls jetons qui le permettent : 2 et 20, il doit avoir 49 avec ses quatre autres jetons. Constater alors qu’il n’y a qu’une façon d’obtenir 49 avec quatre des autres jetons (50 est exclu ainsi que les deux 25, les deux 20 ne conviennent pas, il faut un 25 et un 20, ...) ce qui conduit à la décomposition déjà rencontrée (II) : 20 + 2 + 25 + 20 + 3 + 1. On sait ainsi que, André ayant pris un jeton 3, c’est Paul qui a l’autre.
Chercher ensuite la décomposition avec le terme 50 comme précédemment (I), constater qu’elle contient l’autre 3 et que c’est donc celle d’André.
Ou : Calculer qu’il faut encore 68 points à André, en cinq jetons (un des 3 étant déjà pris).
Découvrir les cinq décompositions correspondantes :
50 + 10 + 5 + 2 + 1 ; 25 + 25 + 10 + 5 + 3 ; 25 + 20 + 20 + 2 + 1 ; 25 + 20 + 10 + 10 + 3 ; 20 + 20 + 20 + 5 + 3
et constater que, si l’on choisit l’une des trois dernières (celles qui ne contiennent pas 50) il n’est plus possible de répartir les 12 jetons qui restent en deux groupes dont la somme est 71 (Car, comme nous l’avons vu précédemment, il n’y a qu’une seule décomposition (I) qui contient 50).
Continuer comme précédemment.
addition, décomposition, organisation, analyse d’informations
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