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Problème de citernes

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Rallye: 14.F.18 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPD, GM, PR
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Résumé

Déterminer la hauteur d'une citerne cylindrique par comparaison à la hauteur d'une autre citerne, connaissant les temps de remplissage.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que la forme cylindrique des citernes et l’écoulement régulier des robinets font que la hauteur d’eau dans chaque citerne est proportionnelle au temps de remplissage. (Indépendamment du débit de chaque robinet)

- Raisonner par proportionnalité : en 3,5 heures, l’eau monte de 2,1 m dans la citerne de droite (ou 210 minutes pour 210 cm, c’est-à-dire 1cm/minute), en 5 heures, l’eau monte de la hauteur totale de la citerne de gauche.

- Faire le point après 2 heures : en 3,5 h on remplit 2,1 m de la citerne de droite, en 1 h on en remplit 0,6 m (2,1 : 3,5) et en 2 h on en remplit 1,2 m. (« règle de trois »), ou recherche de quatrième proportionnelle : 3,5 / 2,1 = 2 / x.

- Il reste donc (2,1 – 1,2) m = 0,9 m à remplir dans la citerne de droite, de même que pour la citerne de gauche. Si en 3 h, on en remplit 0,9 m, en 1 h on remplit 0,3 m et en 5 mn, on remplit les 1,5 m de la citerne de gauche. Donc la hauteur de cette citerne G est 1,5 m.

Ces raisonnements peuvent s’illustrer par un tableau de proportionnalité de ce genre :

  durée (h)      0   1   2   3,5  écart de 1,5 (3,5-2) écart de 3(5-2)   5
  citerne D (m)  0  0,6 1,2  2,1  reste 0,9
  citerne G (m)  0  0,3                                reste 0,9         ?

Ou raisonner à l’aide de fractions :

- Trouver qu’après deux heures, la grande citerne de droite a été remplie aux 4/7 de sa hauteur, soit de 1,2 m.

- Comprendre que la citerne de gauche a été remplie pendant ce temps aux 2/5 de sa hauteur.

- Se rendre compte qu’après ces deux heures, l’eau dans les deux citernes étant arrivée au même niveau, les hauteurs restantes sont les mêmes, représentant les 3/7 de la citerne de droite et les 3/5 de la citerne de gauche, à savoir 0,9 m.

- En déduire la hauteur de la citerne de gauche : 0,9 x 5/3, ce qui donne le résultat de 1,5 m.

Ou, par l’algèbre, en procédure experte, en désignant par x la hauteur de la citerne de gauche, par 2,1/3,5 la vitesse de montée du liquide dans la citerne de droite, x/5 la vitesse de montée du liquide dans le vase de gauche, traduire l’égalité des deux niveaux ou de ce qui dépasse par l’équation 2,1 – 2(2,1/3,5) = x – 2(x/5) qui donne x = 1,5.

Notions mathématiques

multiplication, division, fraction, proportionnalité, équation

Résultats

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