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La plaque de voiture

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Rallye: 13.I.07 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaine: OPN
Familles:

Résumé

Trouver les nombres de cinq chiffres dont on connaît la somme des chiffres (en les considérant aussi comme des nombres), 22, le premier, 9, et le dernier, 8.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que la somme du premier et du dernier chiffre étant 17 (8 + 9) et la somme des cinq chiffres étant 22, la somme des trois chiffres centraux doit être 5 = 22 – 17

- Chercher comment obtenir 5 en additionnant trois nombres naturels différents et constater qu’il n’y a que deux triplets possibles : (0 ;1 ;4) et (0 ; 2 ;3)

- Trouver les six arrangements des trois nombres pour chacun des deux triplets: 014, 041, 104, …

- Ecrire les 12 numéros de plaque possibles :

9 014 8 ; 9 041 8 ; 9 104 8 ; 9 140 8 ; 9 401 8 ; 9 410 8 ; 9 023 8 ; 9 032 8 ; 9 203 8 ; 9 230 8 ; 9 302 8 ; 9 320 8.

Les savoirs nécessaires se limitent à quelques additions et soustractions, 22 – (9 + 8) = 5 et à l’organisation d’une recherche d’arrangements du domaine de la combinatoire élémentaire.

Notions mathématiques

addition, combinatoire

Résultats

13.I.07

Points attribués sur 728 copies:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 4	33 (17%)	61 (32%)	29 (15%)	31 (16%)	38 (20%)	192	1.9
Cat 5	23 (10%)	58 (26%)	24 (11%)	54 (24%)	63 (28%)	222	2.34
Cat 7	32 (10%)	74 (24%)	23 (7%)	69 (22%)	116 (37%)	314	2.52
Total	88 (12%)	193 (27%)	76 (10%)	154 (21%)	217 (30%)	728	2.3
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Les 12 numéros possibles (90148, 90418, 91048, 91408, 94018, 94108, 90238, 90328, 92038, 92308, 93028, 93208), avec explications ou tableaux
3 points: Les 12 numéros possibles, sans explications
ou les 12 combinaisons possibles des trois chiffres centraux (014, 041, 104, 140, 401, 410, 023, 032, 203, 302, 230, 320) mais oubli de remettre le 9 au début et le 8 à la fin de chaque numéro, avec explications
ou oubli de 1 ou 2 numéros ou 12 à 13 réponses dont 1 à 2 sont répétées, avec explications
ou non-respect de la contrainte des chiffres tous différents, avec les 9 solutions nouvelles qui en découlent logiquement : 005, 050, 500, 311, 131, 113, 221, 212, 122, avec explications
2 points: Oubli de 3 à 5 numéros ou 12 réponses et plus dont 3 à 5 sont fausses ou répétées
ou non-respect de la contrainte des chiffres tous différents, avec les 9 solutions nouvelles qui en découlent logiquement : 005, 050, 500, 311, 131, 113, 221, 212, 122, avec ou sans explications
1 point: Moins de 7 numéros trouvés seulement, avec ou sans explications
0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Il y a peu d’incompréhension du problème.

La grande majorité des classes a trouvé que la somme des trois chiffres centraux est 22.

L’unique difficulté du problème réside dans la recherche combinatoire des arrangements des trois nombres centraux : l’inventaire n’est pas organisé systématiquement, les contrôles ne sont pas efficaces et laissent apparaître des « doublons »

Exploitations didactiques

Une mise en commun peut être utile pour vérifier la compréhension du problème et que l’objet de la recherche est bien celui de la manière d’obtenir la somme des trois cases centrales. L’organisation de l’inventaire des arrangements doit rester à la charge de l’élève.

C’est au moment de la comparaison des solutions que doivent apparaître les différentes manières d’organiser un inventaire systématique (par listes ordonnées, par dispositions graphiques (arbre, …)

Banque de problèmes du RMT