Banque de problèmes du RMT
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Déterminer un nombre compris entre 300 et 500 dont on connaît les restes, 5, 7, 11, 15 des divisions par 9, 8, 12 et 16.
Analyse a priori:
- Comprendre que, pour chacune des conditions, il y a une infinité de nombres possibles, obtenus à partir des multiples respectifs de 9, 8, 12, et 16 par addition de, respectivement, 5, 7, 11 et 15.
- Établir les quatre listes de nombres et éventuellement, faire ressortir les éléments communs à une ou plusieurs listes (en couleur, par des marques, etc.) :
multiples de 8 augmentés de 7 : 7,15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79, 87, 95, 103, 111, 119, 127, 135, 143, 151, 159, 167, ...
multiples de 9 augmentés de 5 : 5, 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77, 86, 95, 104, 113, 122, 131, 140, 149, 158, 167, 176, ...
multiples de 12 augmentés de 11 : 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119, 131, 143, 155, 167, 179, ...
multiples de 16 augmentés de 15 : 15, 31, 47, 63, 79, 95, 111, 127, 143, 159, 175, 191, ...
- Constater que 95 est la première occurrence commune dans les quatre suites et voir d’autres régularités comme les éléments communs aux trois premières suites qui apparaissent en 23, 95, 167, ..., de 72 en 72, (ppmc de 8, 9, 12), ou comme les éléments communs aux trois suites “8”, “12” et “16” qui apparaissent en 47, 95, 143, ... de 48 en 48 (ppmc de 8, 12 et 16), etc.
et poursuivre par des raisonnements du même genre jusqu’à 383.
Ou bien:
- Selon une méthode experte, chercher directement le ppmc de 8, 9, 12, 16, qui est 144, puis établir la liste des multiples de 144 auxquels on ajoute 95 : 95, 239, 383, 527 et choisir le 383, qui se situe entre 300 et 500.
Ou bien:
- Se rendre compte que x+1 est multiple de 8, 12 et 16, c’est-à-dire de 48. Chercher, parmi les multiples de 48 compris entre 300 et 500 (336, 384, 432, 480) celui qui, lorsqu’on lui enlève 1, donne un reste de 5 par une division par 9 (335:9 = 37 r=2, 383:9 = 42 r=5, 431:9 = 47 r=8, 479:9 = 53 r=2) et trouver ainsi 383.
multiple, multiple commun, addition, reste
Points attribués pour 672 classes de dix sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 243 (78%) | 26 (8%) | 11 (4%) | 14 (4%) | 19 (6%) | 313 | 0.53 |
| Cat 7 | 132 (63%) | 20 (10%) | 14 (7%) | 11 (5%) | 32 (15%) | 209 | 1 |
| Cat 8 | 76 (51%) | 21 (14%) | 6 (4%) | 11 (7%) | 36 (24%) | 150 | 1.4 |
| Total | 451 (67%) | 67 (10%) | 31 (5%) | 36 (5%) | 87 (13%) | 672 | 0.87 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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