Excursion à la mer

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Rallye: 13.I.16 ; catégories: 8, 9 ; domaines: GM, AL
Famille:

• JH - Traiter d'aspects temporels

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le temps de marche d'un piéton avant qu'un bus ne le rattrape, connaissant le temps mis par les bus pour relier 2 villes, la fréquence des bus et le moment où le piéton croise un bus allant dans le sens inverse.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que le parcours effectué par Aldo en 50 minutes sera couvert par l’autobus dans les 10 minutes qui restent de la première heure, ce qui revient à dire que la vitesse de l’autobus vaut 5 fois celle d’Aldo ou que, pour une même durée, il réussit à parcourir 1/5 de ce que parcourt l’autobus.

On peut aussi résoudre l’équation 50(v + a) = 60a où v et a sont les vitesses respectives d’Aldo et de l’autobus pour trouver que a = 5v.

- Voici une solution s’appuyant sur un schéma, par essais successifs:

Après 50 minutes de marche, Aldo rencontre l’autobus provenant de Kinsale (qui a aussi roulé 50 minutes) au point E et quand ce dernier arrive à Dublin (point D) Aldo est au point F, ayant parcouru 1/5 de DE, qui correspond à EF et à une durée de 10 minutes.

Puis quand l’autobus repartant de Dublin arrive au point E, Aldo se trouve en G, ayant parcouru de nouveau 1/5 de DE en 10 (nouvelles) minutes. Si Aldo marchait encore 10 minutes, il serait en I et l’autobus en J, après l’avoir dépassé. Mais si on fait l’hypothèse que Aldo marche encore 5 minutes après G, il se trouvera en H, à la moitié du trajet GI, et l’autobus se trouvera aussi en H, à la moitié du trajet EJ.

Ce dernier essai conduit à la solution : c’est le moment où l’autobus rejoint Aldo, 25 minutes après le premier croisement.

- Voici une résolution graphique avec les déplacements des autobus et de Aldo et la détermination des points d’intersection (Aldo – bus 2) par un dessin précis. (Cette procédure demande une maîtrise des représentations de la fonction t—> d et en particulier la connaissance que les vitesses correspondent à la pente des droites).

- Une solution algébrique nécessite un choix judicieux de l’inconnue et la maîtrise, même à un niveau intuitif de la relation entre vitesse, distance et durée, v = d/t :

Aldo, après x minutes, de son départ de Dublin, aura parcouru, à la vitesse v, une distance de xv km ; durant la même durée x, l’autobus, à la vitesse 5v, aura parcouru depuis son départ de Kinsale la distance 5vx, qui comprend le parcours Kinsale-Dublin (60 minutes à la vitesse 5v, c’est-à-dire 60 (5v)) et le parcours d’Aldo ;

On en tire la relation : distance parcourue par l’autobus = distance K-D + distance parcourue par Aldo, traduite par l’équation 5vx = 60 (5v) + xv, après une simplification par v, l’équation devient : 5x = 300 + 4x dont la solution est 75. Il faut retrancher les 50 minutes jusqu’au premier croisement pour obtenir le durée demandée : 25 = 75 – 50.

- Voici encore une solution mixte avec tableau et considérations algébriques :

Une fois qu’on a déterminé que la vitesse d’Aldo est le 1/5 de celle de l’autobus, on peut dire qu’Aldo met 300 minutes pour parcourir le trajet. En divisant le trajet en 300 unités u, on peut dire que, en 1 minute, Aldo parcourt 1 u, et que l’autobus en parcourt 5. Ainsi, quand l’autobus repart de Dublin, Aldo se trouve au point 60 u. Le problème peut alors se résoudre par essais successifs, ou à l’aide d’un tableau de ce genre :

et on arrive à la solution : 25 minutes (75 – 50)

Ou bien:

- par équations, on exprime l’égalité des deux distances de Dublin à partir du tableau : la distance parcourue par Aldo depuis Dublin après que l’autobus soit repartit de Dublin est 60 + x et la distance correspondante de l’autobus est 5 x, d’où 60 + x = 5x et enfin x = 15,

mais aussi, sans passer par le tableau, si on désigne par d la distance de Dublin à Kinsale, l’autobus parcourt en une minute une distance pari de d/60, alors qu’Aldo en parcourt d/300. Si x est le nombre de minutes du déplacement, ils se retrouvent lorsque d + d /60 x = d / 300 x, ce qui conduit à x = 75.

Notions mathématiques

fraction, équation

Résultats

13.I.16

Points attribués pour 32 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Solution correcte (25 minutes) avec explications claires et détaillées du raisonnement
• 3 points: Solution correcte avec explications incomplètes ou peu claires
• 2 points: Solution correcte sans aucune explication
  ou réponse fausse due à une erreur de calcul (ou solution « 75 minutes ») mais avec un raisonnement correct
• 1 point: Début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème

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