Un triangle qui grandit

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Rallye: 13.II.07 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaines: FN, GP
Familles:

• SF - Etudier des suites de figures
• SN - Traiter une suite numérique

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Résumé

La suite des triangles donnant les nombres triangulaires est amorcées. Chaque figure est décomposée en triangles blancs et noirs. Déterminer les caractéristiques de la figues correspondant au nombre triangulaire 55.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que chaque figure a un niveau de plus que la précédente et essayer de dessiner les figures suivantes. Comme les triangles sont en fait des demi-carrés, le dessin en est facilité sur du papier quadrillé.

- Comprendre la construction géométrique des étages successifs supplémentaires.

- Compter les triangles noirs jusqu’à arriver à 55. On en déduit le nombre d’étages et l’on peut compter les triangles blancs que Roland a utilisés.

Ou, pour éviter les dessins, travailler dans le domaine numérique et tenir une liste précise du comptage des triangles noirs pour trouver le nombre d’étages ; par exemple:

  nombre de triangles noirs : 3  6 10 15 21 28 36 45 55
  nombre d’étages:            2  3  4  5  6  7  8  9 10

Pour établir cette liste, comprendre la régularité de sa construction ;

• soit en remarquant que l’on passe d’un nombre de triangles noirs au suivant en ajoutant 3, puis 4, puis 5, ..., puis 9 ;
• soit en remarquant que le nombre de triangles noirs de la figure à n étages s’obtient en ajoutant n au nombre de triangles noirs de la figure précédente (celle qui est à n-1 étages).

- Se rendre compte que l’on peut ajouter à cette liste de comptage des triangles noirs une liste soigneusement coordonnée du comptage des triangles blancs, par exemple:

  nombre de triangles noirs :  3   6  10   15   21   ...   55
  nombre d’étages :            2   3   4    5    6   ...   10
  nombre de triangles blancs : 1   3   6   10   15   ...   45

Pour établir cette liste de comptage des triangles blancs, comprendre:

• soit qu’on y trouve les mêmes nombres que sur la liste du comptage des triangles noirs avec un “décalage” vers la droite de chacun des nombres de la liste ;
• soit en remarquant que l’on passe d’un nombre de triangles blancs au suivant en ajoutant 2, puis 3, puis 4, ..., puis 8.

Ou : constater que le nombre de triangles noirs correspond à la somme des nombres naturels jusqu’à n (n = nombre d’étages) et que le nombre de triangles blancs correspond à la somme des nombres naturels jusqu’à n-1 (n = nombre d’étages) ou que ce nombre de triangles blancs est égal au nombre de triangles noirs moins n.

Ou : constater que le nombre total des triangles est 1, 4, 9, 16, ... (suite des carrés) et calculer le nombre de triangles blancs par différence.

Notions mathématiques

addition, multiplication, soustraction, suite

Résultats

13.II.07

Points attribués sur 163 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les deux réponses correctes (10 étages et 45 triangles blancs) avec explications détaillées (dessin, tableau, calculs ...)
• 3 points: Les deux réponses correctes avec explication peu claire ou incomplète
  ou explication claire et complète mais avec une erreur de calcul dans le comptage des étages ou des triangles blancs
• 2 points: Réponse correcte à une seule des deux questions, avec explications
• 1 point: Début de raisonnement
• 0 point: Incompréhension du problème