Un triangolo che ingrandisce

Identificazione

Rally: 13.II.07 ; categorie: 4, 5, 6 ; ambiti: FN, GP
Famiglie:

• SF - Studiare successioni di figure
• SN - Gestire una successione numerica

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Sunto

Una sequenza dei triangoli che danno i numeri triangolari è iniziata. Ogni figura è formata da triangoli bianchi e neri. Determinare le caratteristiche della figura corrispondente al numero triangolare.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Capire che ogni figura ha un piano in più della precedente e provare a disegnare le figure successive servendosi della quadrettatura del foglio.

Comprendere la costruzione geometrica dei pani successivi.

Contare i triangoli neri fino ad arrivare a 55. Ricavare il numero dei piani e contare i triangoli bianchi che ha utilizzato Rolando.

Per evitare il disegno lavorare nel dominio numerico e tenere una lista precisa del conteggio dei triangoli neri per determinare il numero dei piani, per esempio:

  numero dei triangoli neri: 3  6 10 15 21 28 36 45 55
  numero dei piani:          2  3  4  5  6  7  8  9 10

E’ possibile ottenere la lista precedente, comprendendo la regolarità della sua costruzione: sia notando che si passa da un numero di triangoli neri al successivo aggiungendo 3, poi 4, poi 5, ..., poi 9; sia notando che il numero di triangoli neri della figura a n piani si ottiene aggiungendo n al numero dei triangoli neri della figura precedente (quella a n-1 piani).

Rendersi conto che si può aggiungere alla lista del conteggio dei triangoli neri una lista opportunamente coordinata del conteggio dei triangoli bianchi , per esempio:

  numero dei triangoli neri:	3	6	10	15	21	...	55
  numero dei piani:		2	3	4	5	6 	...	10
  numero dei triangoli bianchi:	1	3	6	10	15	...	45

Per l’ultima lista si può notare sia che si trovano gli stessi numeri della lista del conteggio dei triangoli neri con uno “spostamento” verso destra di ciascuno di tali numeri, sia che si passa da un numero di triangoli bianchi al successivo aggiungendo 2, poi 3, poi 4, ..., poi 8.

Constatare che il numero di triangoli neri corrisponde alla somma dei numeri naturali fino ad n (n = numero dei piani) e che il numero dei triangoli bianchi corrisponde alla somma dei numeri naturali fino ad n-1 (n = numero dei piani) o che è uguale al numero dei triangoli neri meno n.

Oppure: constatare che il numero totale dei triangoli è 1, 4, 9, 16, ... (successione dei quadrati) e calcolare il numero di triangoli bianchi per differenza.

Nozioni matematiche

addizione, moltiplicazione, sottrazione, progressione

Risultati

13.II.07

Su 163 classi della sezione di Svizzera domanda

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (10 piani, 45 triangoli bianchi) con spiegazione dettagliata (tabella, calcolo, disegno, .…)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione poco chiara o incompleta o spiegazione chiara e completa ma con un errore di calcolo nel conteggio dei piani o dei triangoli bianchi
• 2 punti: Risposta corretta a una sola delle due domande
• 1 punto: Inizio di ragionamento
• 0 punto: Incomprensione del problema