Les trois coffres

Identification

Rallye: 13.II.08 ; catégories: 5, 6 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• ECH - Effectuer des échanges
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Résoudre un système « élémentaire » de trois relations linéaires entre trois valeurs de lingots - petits, moyens, grands - répartis dans trois coffres dont le contenu est équivalent à 30 pièces d'or: 4p + m = 30 ; 2p + 2m = 30 ; m + g = 30

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Se rendre compte que, si chaque valeur de coffre est de 30 (pièces d’or), les coffres sont équivalents entre eux, bien qu’ils ne contiennent que des lingots différents soit en nombre soit en grandeur.

Tirer, de l’équivalence entre les contenus des deux premiers coffres : 4p +1m = 2p + 2m (p désigne la valeur d’un petit lingot, m désigne la valeur d’un lingot moyen) une équivalence plus simple en retirant 2 p dans chaque coffre : 2p + 1m = 2m, puis une dernière équivalence encore plus simple, en retirant 1 m de chaque coffre, pour arriver à l’équivalence : 2p = 1m.

De la même manière, tirer de l’équivalence entre les contenus du premier et du troisième coffre : 4p+1m=1m+1g (g désigne la valeur d’un grand lingot) l’équivalence plus simple : 4p = 1g.

On peut donc par substitution, entre les relations 2p = 1m et 4p = 1g, obtenir la relation 1g = 2m.

- À l’aide des relations précédentes, voir que les contenus de chacun des coffres peuvent s’exprimer, après substitution, avec une seule sorte de lingots ; par exemple des petits lingots :

• le contenu du premier coffre est de : 4p+1m = 4p+2p = 6p ;
• le contenu du deuxième coffre est de : 2p+2m = 2p+2x2p = 2p+4p = 6p ;
• le contenu du troisième coffre est de : 1m+1g = 2p+4p = 6p.

Ceci permet de passer à la « mesure » de chaque lingot en pièces d’or. Comprendre que 6 petits lingots valent 30 pièces d’or et donc qu’un petit lingot vaut 5 pièces d’or (30 : 6 = 5) ; trouver la valeur d’un lingot moyen (10 = 2 x 5) et d’un grand lingot (20 = 4 x 5) : m = 10 pièces d’or et g = 20 pièces d’or.

Ou : procéder par essais, au hasard ou organisés. Par exemple, à partir du contenu du troisième coffre, postuler que m = 12 et g = 18, ce qui conduira à une contradiction en vérifiant ces valeurs de m et g pour les contenus des deux autres coffres.

Puis, ce qui peut paraître naturel, essayer les valeurs m = 10 et g = 20, qui permet de trouver p = 5 par observation du contenu du deuxième coffre et enfin de vérifier ces valeurs pour le contenu du premier coffre.

Ou : travailler avec des représentations graphiques des lingots et des équivalences, plus faciles pour appliquer les règles d’équivalence (par exemple sous forme de balance à équilibrer).

Notions mathématiques

échange, équivalence, proportionnalité

Résultats

13.II.08

Points attribués sur 389 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (5 pièces d’or pour la valeur d’un petit lingot, 10 pièces d’or pour la valeur d’un moyen et 20 pièces d’or pour la valeur d’un grand) avec explications (usage d’équivalences graphiques et/ou numériques ou emploi d’une stratégie d’essais/erreurs, …)
• 3 points: Réponse correcte, mais sans démonstrations ou explications claires des manipulations opérées sur les équivalences
• 2 points: Deux au moins des rapports ou équivalences entre les valeurs des lingots sont énoncés correctement, (1g = 2m, 1g = 4p, 1m = 2p), mais une erreur s’est produite lors de la conversion en pièces d’or
• 1 point: Essais de valeurs attribuées aux lingots, qui n’aboutissent pas, ou un seul rapport trouvé entre les valeurs en pièces d’or des lingots (1g = 4p) ou (1m = 2p)
• 0 point: Incompréhension du problème