Banque de problèmes du RMT
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Trouver le nombre de cartes nécessaires pour construire un château de cartes de 25 niveaux, c'est-à-dire le 25e terme de la suite 2 7 15 26 40 57 ... (selon le dessin de deux modèles de 2 et 3 niveaux)
- Comprendre la règle de construction des châteaux et comprendre comment passer d’un château au suivant (avec un niveau en plus)
- Après avoir dessiné les premiers châteaux, passer au registre numérique et établir un lien entre le nombre de niveaux et le nombre de cartes :
niveaux 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 25 cartes 2 7 15 26 40 57 ...
et comprendre que pour passer d’un château au château suivant, il faut ajouter un nombre de cartes égal à la différence entre les nombres de cartes des deux niveaux précédents augmenté de trois :
+5 +8 +11 +14 +17 +20 +23 +26 ...
Continuer numériquement jusqu’au 25e niveau et écrire tous les résultats intermédiaires (en s’aidant éventuellement d’une calculatrice)
cartes 2 7 15 26 40 57 77 100 126 ... 950
Ou : chercher une relation entre le nombre des niveaux et le nombre de cartes du château correspondant. Par exemple :
Remarquer que, dans le premier château, le niveau 1 (celui le plus haut) est formé de 3 (3 x 1) cartes (un triangle complet) alors que le 2e niveau, celui de la base, est formé de 4 (3 x 2 - 2) cartes (deux triangles privés de leur base respective) ; dans le deuxième château, le niveau 1 est formé de 3 cartes (3 x 1 ; un triangle complet), le niveau 2 est formé de 6 cartes (3 x 2 ; deux triangles complets), le niveau 3, la base, est formé de 6 cartes (3 x 3 – 3 ; trois triangles sans les bases).
Essayer de dessiner des châteaux plus hauts et découvrir que la règle qui fournit le nombre de cartes sur le plan n est : 3n si n n'est pas le plan de base du château, 3n – n = 2n si n est le plan de base du château. Arriver ainsi à établir que pour construire un château de n niveaux, il faut 3(1+2+3+...... n-1)+2n cartes.
Ou encore : observer que le nombre de "triangles" que l’on peut trouver dans un château à n niveaux est n2 et que donc le nombre des côtés des triangles est 3n2. Considérer ensuite que chaque côté à l’intérieur du château est compté deux fois et que les triangles du niveau le plus bas ne sont pas complets. En conclure que le double du nombre de cartes nécessaires pour construire un château de n plans est donné par (3n2 + 2n - n) et que donc (3n2 + n)/2 est le nombre de cartes nécessaires à la construction d'un château de n niveaux.
Ou encore : observer que pour un château de n niveaux, il faut 2(1 + 2 + 3 + ... + n) cartes obliques et (1 + 2 + 3 + ... + n – 1) cartes horizontales. Donc en tout n(n+1) + n(n – 1)/2 = (3n2 + n)/2
- Conclure que pour un château de 25 niveaux, il faudra 950 cartes.
addition, multiplication, suite
Points attribués sur 525 classes de 14 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 73 (28%) | 49 (19%) | 41 (16%) | 32 (12%) | 64 (25%) | 259 | 1.86 |
| Cat 8 | 36 (17%) | 17 (8%) | 31 (15%) | 28 (13%) | 99 (47%) | 211 | 2.65 |
| Cat 9 | 14 (25%) | 7 (13%) | 5 (9%) | 7 (13%) | 22 (40%) | 55 | 2.29 |
| Total | 123 (23%) | 73 (14%) | 77 (15%) | 67 (13%) | 185 (35%) | 525 | 2.22 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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