Castelli di carta

Identificazione

Rally: 13.II.15 ; categorie: 7, 8, 9 ; ambito: FN
Famiglie:

• SF - Studiare successioni di figure
• SN - Gestire una successione numerica
• SN/REC - Identificare o utilizzare una relazione di ricorrenza

Envoyer une remarque ou une suggestion

Sunto

Trovare il numero di carte necessarie per costruire un castello di carte di 25 piani, cioè il 25° termine della successione 2 7 15 26 40 57 … (secondo il disegno di due modelli di 2 e 3 piani)

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Capire la regola di costruzione dei castelli di carte e come si passa da un castello al successivo avente un piano in più

- Dopo aver disegnato i primi castelli, passare al registro numerico e stabilire una corrispondenza tra il numero dei piani e il numero delle carte, del tipo:

  piani 1  2  3  4  5  6  7  8  9 ... 25 
  carte 2  7 15 26 40 57 ...

e comprendere che per passare da un castello all’altro si aggiungono successivamente numeri ciascuno dei quali vale sempre 3 di più del precedente:

  + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26......

Giungere fino al castello di 25 piani, scrivendo tutti i risultati intermedi (eventualmente con l’aiuto della calcolatrice) carte 2 7 15 26 40 57 77 100 126..........950

Oppure cercare un legame funzionale tra il numero dei piani e il numero delle carte di un castello. Per esempio:

- Notare che, nel primo castello, il piano 1 (quello più alto) è formato da 3 (=3⋅1) carte (un triangolo completo) mentre il piano 2, di base, è formato da 4 (= 3⋅2-2) carte (due triangoli privati dei lati di base); nel secondo castello, il piano 1 è formato da 3 (= 3⋅1) carte (un triangolo completo), il piano 2 è formato da 6 (= 3⋅2) carte (due triangoli completi), il piano 3 di base è formato da 6 (= 3⋅3-3) carte (tre triangoli senza i lati di base). Provare a disegnare castelli più alti e scoprire che la regola che fornisce il numero di carte sul piano n è: 3n se n non è il piano di base del castello, 3n-n=2n se n è il piano di base del castello. Giungere così a stabilire che per costruire un castello di n piani occorrono 3(1+2+3+......n-1)+2n carte.

- O ancora: osservare che il numero di “triangoli” individuabili in un castello di n piani è n2 e che quindi il numero dei lati dei triangoli è 3n2. Considerare poi che ogni lato, a parte quelli esterni, è contato due volte e che i triangoli sulla base non sono completi e concludere che il doppio del numero di carte necessario per costruire un castello di n piani èdatoda(3n² +2n - n) e che quindi (3n² + n)/2 è il numero di carte di un castello di n piani.

Oppure: osservare che per un castello di n piani occorrono (1+2+3+.....+n)2 carte “oblique” e (1+2+3+....+n-1) carte “orizzontali”. Quindi, in tutto, n(n+1)+(n-1)n/2 = (3n² + n)/2

- Concludere che per un castello di 25 piani occorrerebbero 950 carte.

Nozioni matematiche

addizioni, moltiplicazioni, deduzione, astrazione

Risultati

13.II.15

Punteggi attribuiti su 525 classes di 14 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta giusta (950) con spiegazione esauriente
• 3 punti: Risposta giusta con spiegazione insufficiente o poco chiara
  oppure risposta contenente un errore chiaramente solo di calcolo
• 2 punti: Errore dovuto al considerare il piano di base al pari degli altri piani che porta alla risposta 975 (950+25)
• 1 punto: Inizio di ragionamento corretto
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati