Banca di problemi del RMT
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Trovare il numero di carte necessarie per costruire un castello di carte di 25 piani, cioè il 25° termine della successione 2 7 15 26 40 57 … (secondo il disegno di due modelli di 2 e 3 piani)
Analisi a priori:
- Capire la regola di costruzione dei castelli di carte e come si passa da un castello al successivo avente un piano in più
- Dopo aver disegnato i primi castelli, passare al registro numerico e stabilire una corrispondenza tra il numero dei piani e il numero delle carte, del tipo:
piani 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 25 carte 2 7 15 26 40 57 ...
e comprendere che per passare da un castello all’altro si aggiungono successivamente numeri ciascuno dei quali vale sempre 3 di più del precedente:
+ 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26......
Giungere fino al castello di 25 piani, scrivendo tutti i risultati intermedi (eventualmente con l’aiuto della calcolatrice) carte 2 7 15 26 40 57 77 100 126..........950
Oppure cercare un legame funzionale tra il numero dei piani e il numero delle carte di un castello. Per esempio:
- Notare che, nel primo castello, il piano 1 (quello più alto) è formato da 3 (=3⋅1) carte (un triangolo completo) mentre il piano 2, di base, è formato da 4 (= 3⋅2-2) carte (due triangoli privati dei lati di base); nel secondo castello, il piano 1 è formato da 3 (= 3⋅1) carte (un triangolo completo), il piano 2 è formato da 6 (= 3⋅2) carte (due triangoli completi), il piano 3 di base è formato da 6 (= 3⋅3-3) carte (tre triangoli senza i lati di base). Provare a disegnare castelli più alti e scoprire che la regola che fornisce il numero di carte sul piano n è: 3n se n non è il piano di base del castello, 3n-n=2n se n è il piano di base del castello. Giungere così a stabilire che per costruire un castello di n piani occorrono 3(1+2+3+......n-1)+2n carte.
- O ancora: osservare che il numero di “triangoli” individuabili in un castello di n piani è n2 e che quindi il numero dei lati dei triangoli è 3n2. Considerare poi che ogni lato, a parte quelli esterni, è contato due volte e che i triangoli sulla base non sono completi e concludere che il doppio del numero di carte necessario per costruire un castello di n piani èdatoda(3n2 +2n - n) e che quindi (3n2 + n)/2 è il numero di carte di un castello di n piani.
Oppure: osservare che per un castello di n piani occorrono (1+2+3+.....+n)2 carte “oblique” e (1+2+3+....+n-1) carte “orizzontali”. Quindi, in tutto, n(n+1)+(n-1)n/2 = (3n2 + n)/2
- Concludere che per un castello di 25 piani occorrerebbero 950 carte.
addizioni, moltiplicazioni, deduzione, astrazione
Punteggi attribuiti su 525 classes di 14 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 73 (28%) | 49 (19%) | 41 (16%) | 32 (12%) | 64 (25%) | 259 | 1.86 |
| Cat 8 | 36 (17%) | 17 (8%) | 31 (15%) | 28 (13%) | 99 (47%) | 211 | 2.65 |
| Cat 9 | 14 (25%) | 7 (13%) | 5 (9%) | 7 (13%) | 22 (40%) | 55 | 2.29 |
| Totale | 123 (23%) | 73 (14%) | 77 (15%) | 67 (13%) | 185 (35%) | 525 | 2.22 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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