Banque de problèmes du RMT
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Placer les huit nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dans une grille, de telle sorte que deux nombres consécutifs soient dans des cases qui ne se touchent pas, ni par un côté, ni par un sommet.
La tâche semble aisée en procédant par essais à partir d’une pièce posée en cherchant quelles sont les pièces qui peuvent se placer sur une case voisine, ou en écartant celles qui ne le peuvent pas, jusqu’au moment où la grille est complète. Mais le nombre des essais est élevé et on se rend compte rapidement qu'il faut les diriger par un raisonnement logique sur les cases "voisines" et l'existence de "nombres consécutifs":
(Ia) Dans la suite des nombres de 1 à 8, chacun a deux nombres qui le précédent ou le suivent directement, à l’exception de 1 et 8 qui n’en ont qu’un seul.
(Ib) Ceci signifie que 1 et 8 ont chacun 6 nombres qui ne les suivent ou ne les précédent pas directement. Les six autres nombres de 2 à 7 n’ont que 5 nombres qui ne les suivent ou ne les précèdent pas directement.
(IIa) Sur la grille, il y a des deux cases qui ont 3 voisines, (par un côté ou un sommet), ce sont les cases des deux extrémités du rang central. Il y en a quatre, dans les rangs du haut et du bas, qui ont 4 voisines et il y en a deux, au centre, qui ont 6 voisines.
(IIb) Les cases des extrémités ont donc chacune 4 cases non voisines; celles du haut et du bas n’en ont que 3 ; et les deux cases centrales n’ont qu’une seule case qu’elles ne touchent pas.
(III) En combinant les observations (Ia) et (IIb), la contrainte de l’énoncé « deux nombres consécutifs sont dans des cases qui ne se touchent pas » on doit admettre que les nombres 1 et 8 qui n’ont qu’un seul nombre qui les précède ou les suit dans la suite donnée, doivent obligatoirement être placés dans les cases centrales de la grille.
Un autre raisonnement de type intermédiaire entre les essais et la déduction est de constater que, si on place par exemple le nombre 3 dans une case centrale, il faudra éliminer 2 et 4 et ne conserver que les cinq nombres 1, 5, 6, 7, 8 pour occuper les six cases voisines, ce qui conduit à une contradiction. Celle-ci se reproduit avec tous les autres nombres à l’exception de 1 et 8 pour lesquels on n’élimine que le voisin direct et on conserve les six autres pour occuper les six cases voisines..
Une fois déterminée la position de 1 et 8, au centre, on constate qu’il faudra placer les nombres qui les suivent ou précèdent directement, 2 et 7, dans les cases non voisines qui restent, les deux cases des extrémités. Les quatre nombres restants 3, 4, 5 et 6 se placent aisément : le 3 et le 4 en face l’un de l’autre, « éloignés » du 2, le 5 et 6 « éloignés » du 7 et le « 5 » à côté du 3 pour ne pas être au voisinage du 4.
On obtient ainsi la solution, dans quatre dispositions différentes si l’on regarde la grille comme étant fixe, et qui sont symétriques selon les deux axes de la grille.
Les connaissances mathématiques en jeu sont du domaine de la logique (négation, contraposées) et des relations d’ordre dans la suite ou de proximité sur le plan de la grille.
nombre, nombre naturel, consécutif, voisinage, exclusion
Il n'y a pas de résultats disponibles pour ce problème, mais sa pratique a révélé qu'il est difficile à tous les degrés, pour les adultes aussi.
Dans ce type de casse-tête, on ne peut observer que la "patience" des élèves, qui peuvent arriver, par chance à une solution, mais qui, le plus souvent, abandonnent par lassitude.
Les déductions logiques permettant de se convaincre que ce sont le 1 et le 8 qui doivent occuper les cases centrales exigent de "prendre de la distance" par rapport aux essais et manipulations. Il y a là ce que Matin Gardner appelle le haha ou l'éclair de la compréhension en mathématique, et il ajoute, pour consoler ceux qui ne le découvrent pas que l'intention fulgurante ou l'élan créatif de l'esprit qui "voit" en un éclair comment résoudre simplement un problème n'est pas synonyme d'intelligence.
Martin Gardner, Haha ou l'éclair de la compréhension mathématique, 65 jeux illustrés. Bibliothèque Pour la Science. Ed. Belin. Paris 1978
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