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Maisons à colorier

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Rallye: 16.II.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: LR
Famille:

TOP - Gérer une situation topologique

Résumé

Colorier les sommets d'un graphe en utilisant des couleurs différentes pour des sommets adjacents et le moins possible de couleurs.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Commencer en coloriant, avec des couleurs différentes, deux maisons reliées entre elles et continuer à procéder pas à pas en tâchant de respecter les règles.

Par exemple si 1 est colorié en rouge et 2 en bleu, 3 ne peut être bleu car reliée à 2, mais peut être rouge parce qu’elle n’est pas reliée à 1 ; 4 ne peut être ni rouge ni bleu car elle est reliée à 1 et 2 : elle peut être verte par exemple. Alors 5 ne peut être ni bleue ni verte ...

Etc.

Ou bien colorier une maison et repérer celles qui peuvent être éventuellement coloriées de la même couleur ou celles qui sont nécessairement d’une autre couleur. Continuer de la même manière en vérifiant à chaque étape que la contrainte est vérifiée.

Par exemple : colorier en premier la maison numéro 3 en rouge. Dans ce cas, les maisons 1 et 5 peuvent aussi être rouges; le maison 2 ne peut pas être rouge : elle peut être bleue par exemple; alors la maison 7 peut aussi être bleue. À ce stade, les maisons 4 et 6 doivent être d'une autre couleur, nécessairement vertes. Ou : se rendre compte que trois couleurs au moins sont nécessaires parce qu'il y a des triplets de maisons reliées entre elles, ex. 1-2-4; 2-3-4; 2- 5-6; ...). Considérer par exemple le triangle 2-5-6 et attribuer une couleur différente à chaque sommet. Déduire les couleurs possibles pour les autres maisons en respectant les règles.

Ou : procéder par essais plus ou moins organisés avec contrôle de la contrainte et réajustements - Réponse : 1, 3 et 5 d'une même couleur 4 et 6 d'une deuxième couleur 2 et 7 de la troisième couleur,

Par exemple :

Notions mathématiques

déduction, combinatoire

Résultats

16.II.02

Points attribués sur 68 classes de Suisse romande:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 3	9 (33%)	3 (11%)	1 (4%)	4 (15%)	10 (37%)	27	2.11
Cat 4	5 (12%)	0 (0%)	2 (5%)	3 (7%)	31 (76%)	41	3.34
Total	14 (21%)	3 (4%)	3 (4%)	7 (10%)	41 (60%)	68	2.85
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Une solution correcte qui montre un coloriage avec trois couleurs bien distinctes
3 points: Une solution correcte mais avec un coloriage peu clair
2 points: Un coloriage avec trois couleurs mais contenant une erreur
ou réponse « nous n’y sommes pas arrivés » accompagnée d’au moins deux solutions de quatre couleurs qui respectent les consignes
1 point: Début de recherche correcte ou coloriage avec 4 couleurs
0 point: Incompréhension du problème ou autre coloriage qui ne respecte pas les consignes

Banque de problèmes du RMT