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Les tables de tante Marie

Identification

Rallye: 16.II.04 ; catégories: 3, 4 ; domaine: GM
Familles:

Résumé

Dénombrer le nombre de pièces carrées ou triangulaires (34 en tout) nécessaires pour recouvrir respectivement un carré quadrillé 5 x 5 ou une surface rectangulaire 3 x 8 aux coins biseautés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Comprendre qu’il faut déterminer une unité de mesure (carré ou triangle)

- Se rendre compte de la relation entre les deux unités de mesure (moitié/double)

- Comprendre que, puisque tante Marie utilise 34 pièces pour chacune des deux tables, elle ne peut pas, pour paver la première table, utiliser uniquement des pièces carrés (il en faudrait alors uniquement 25). Pour l’autre table, il est évident que les formes seront mélangées, mais il faut aussi comprendre qu’il doit y en avoir 34. C’est le point central de la compréhension de l’énoncé.

- Pour la table carrée, on peut faire successivement plusieurs hypothèses sur le nombre de pièces carrées et sur les nombre correspondant de pièces triangulaires permettant de compléter le pavage, et vérifier s’il y a effectivement 34 pièces, avec un tableau comme celui-ci :

jusqu’à retenir la solution : 16 morceaux carrés et 18 triangulaires. En procédant ainsi, même en concluant à partir d’un seul essai, on peut constater que la solution est unique. (Cet aspect pourra être repris lors d’une exploitation du problème en classe.)

- Pour la seconde table, utiliser par exemple un tableau comme le suivant, qui prend en compte le fait qu’il y a déjà obligatoirement 4 triangles :

Ou :

« Couper » les carrés dans chacun des deux dessins jusqu’à obtenir 34 morceaux 16 c et 18 t pour la table carrée; 10 c et 24 t pour l’autre table.

Ou :

Comprendre que :

La table carrée étant formée de 25 carrés, 9 d’entre eux (34 - 25) devront être coupés en deux, ce qui donnera 18 t et 16 c (25-9)
Pour l’autre table, il y a 20 carrés et 4 triangles ; 10 c (34 - 4 - 20) devront alors être recouverts avec 20 triangles et les 10 autres pourront être recouverts par les carrés.

Ou : procéder par essais en partageant un carré après l’autre en triangles (si l’on veut en recourant aux couleurs rouge et verte), jusqu’à obtenir le nombre de pièces demandées, ou encore découper tous les carrés visibles en triangles pour ensuite recomposer le nombre nécessaire de carrés permettant d’obtenir les 34 pièces demandées. (L’utilisation des couleurs pour diverses formes de découpe, peut donner un sens à la diversité des deux modèles carré et triangulaire).

- Conclure que, pour la table carrée, tante Marie utilisera 18 triangles et 16 carrés, pour la table octogonale elle utilisera 24 triangles et10 carrés

Notions mathématiques

dénombrement, carré, triangle, aire

Résultats

16.II.04

Points attribués sur 68 classes de Suisse romande:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 3	12 (44%)	1 (4%)	5 (19%)	1 (4%)	8 (30%)	27	1.7
Cat 4	15 (37%)	0 (0%)	3 (7%)	6 (15%)	17 (41%)	41	2.24
Total	27 (40%)	1 (1%)	8 (12%)	7 (10%)	25 (37%)	68	2.03
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Les deux réponses correctes (16 c et 18 t – 10 c et 24 t) avec explication de la procédure suivie (par exemple les deux tableaux) ou un dessin représentant clairement les pièces utilisées
3 Les deux réponses correctes sans explication ou dessin, ou bien accompagnées d’un dessin peu clair
2 points: Une des deux réponses correctes avec explication
1 point: Une des deux réponses correctes sans explication ou dessin,
ou pour les deux, une réponse fausse due à une erreur dans le comptage des pièces
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT