Les rubans

Identification

Rallye: 16.II.14 ; catégories: 7, 8, 9 ; domaines: OPN, AL, LR
Familles:

• AA - Passer de l'arithmétique à l'algèbre
• LO - Effectuer des déductions
• LO/NU - Effectuer des déductions avec des contraintes numériques
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Déterminer la longueur de 4 rubans A, B, C, D connaissant les longueurs de leur juxtaposition 3 par 3.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Lire attentivement l’énoncé pour comprendre que tous les rubans fictifs sont composés de trois des quatre rubans donnés et que dans chacun des cas, il en manque un.

- Les 13 cm de différence entre le premier ruban fictif A+B+C=162 cm et le deuxième A+B+D=175 cm sont dus au remplacement de C par D. On peut en déduire que D mesure 13 cm de plus que C.

De la même manière, on trouve que C mesure 19 cm de moins que B, que B mesure 14 cm de plus que A et, en comparant le premier et le dernier ruban, que D mesure 8 cm de plus que A.

- Une synthèse de trois de ces quatre comparaisons, réalisée graphiquement en dessinant des rubans côte à côte avec une origine commune, ou par substitutions (Si D = C + 13 et si C = B – 19 alors D = (B – 19) + 13 = B – 6, etc.) permet de constater que les longueurs des rubans sont dans l’ordre :

  C ; A=C+5 ; D=C+13 ; B=C+19

En utilisant ces relations et l’une (quelconque) des données de l’énoncé, déterminer la longueur de C et en déduire toutes les autres longueurs.

Ou bien:

- Trouver la longueur de chacun des rubans, algébriquement en résolvant le système qui traduit les quatre indications :

  A + B + C = 162
  A + B + D = 175
  A + C + D = 156
  B+C+D=170 

dont la solution est A=51, B=65, C=46 et D=59

Ou bien:

- Procéder arithmétiquement par essais successifs en fixant arbitrairement, par exemple, la longueur de B à 70 cm et en calculant les autres selon les comparaisons précédentes A = 56, C = 51 et D = 64. Si on additionne ces valeurs pour A + B + C on trouve 177, ce qui est 15 de plus que la donnée (162). Il faut donc retrancher 5 (15 : 3) à chacun de ces nombres pour arriver aux réponses exactes.

Ou bien:

- Constater que la somme des longueurs des quatre rubans fictifs où apparaît trois fois chaque ruban est 663 (3A + 3B + 3C + 3D = 663) et que, par conséquent, les quatre rubans réels ont une longueur totale, en cm, de 663 : 3 = 221. Par différence, on trouve alors que D = 221 – 162 = 59, etc.

Notions mathématiques

quatre opérations, système d’équations

Résultats

16.II.14

Points attribués sur 74 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes aux deux questions (Béatrice possède le plus long ruban ; A = 51 cm, B = 65 cm, C = 46 cm, D = 59 cm) avec explications claires
• 3 points: Réponses correctes aux deux questions avec explications peu claires ou une seule erreur de calcul
• 2 points: Réponse « Béatrice possède le plus long ruban » , bien expliquée et un début de calcul des quatre longueurs
  ou réponse correcte aux deux demandes, sans explication
• 1 point: Début de résolution correcte, mais aucune réponse trouvée (par exemple, essais cohérents avec l’énoncé mais non aboutis)
• 0 point: Incompréhension du problème