Banque de problèmes du RMT
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Rechercher le 2008e chiffre après la virgule d'un nombre obtenu comme quotient d'un nombre décimal par un nombre entier.
- S’approprier la situation de division et vérifier les affirmations de Julie, Mathieu et Antoine.
- Observer le développement décimal de la division 192,75 : 13 sur une ou plusieurs calculatrices différentes et constater qu’il peut y avoir des différences pour les derniers chiffres affichés et qu’on entrevoit un début de régularité.
- Effectuer la division 192,75 : 13 par écrit et constater que les « restes » successifs sont : 62,75 en dizaines ; 10,75 en unités; 35 en dixièmes; 9 en centièmes, puis 2; 3; 0; 7; 6; 9; 2; ... et remarquer que ces restes se répètent régulièrement dès le troisième chiffre après la virgule. Ils conduisent à la période 692307 dans le quotient : 14,82692307692307692307...
- Constater que la période commence au 3e chiffre après la virgule (celui des millièmes) et qu’elle est de 6 chiffres. Diviser par conséquent 2008 – 2 = 2006 (car le développement périodique commence au 3e chiffre) par 6 (nombre de chiffres de la période) ce qui donne un reste de 2. Ce reste correspond au deuxième chiffre de la période,, qui est 9.Le 2008è chiffre du développement décimal est donc 9.
Ou observer que les décimales de rang 3 + 6n = 2 + 1 + 6n sont toutes 6, début de la période. Celles de rang 4+6n=2+2+6n sont toutes des 9, le second chiffre de la période. Celles de rang 2+3+6n sont toutes 2, troisième chiffre de la période et ainsi de suite. Donc pour trouver la décimale de rang 2008 = 2 + r + 6n, il suffira de trouver le reste r de la division de 2008 –2 = 2006 par 6. 2006 : 6 donne le reste 2 et le second chiffre de la période, 9, sera la 2008e décimale.
Ou, par exemple, en additionnant des multiples de 6 pour s’approcher de 2008, on peut trouver: 3 + 1800 + 180 + 24 = 2007. La 2007e décimale sera 6, la 2008e sera 9.
nombre rationnel, développement décimal
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