Gagnants et perdants

Identification

Rallye: 16.F.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: OP
Familles:

• AA - Passer de l'arithmétique à l'algèbre
• ADZ - Additionner des nombres entiers relatifs

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Résumé

Déterminer des nombres connaissant les résultats après une suite d'opérations effectuées sur eux.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre les règles de répartition (pour chaque partie, le nombre de billes du gagnant double et le nombre de billes du perdant diminue du nombre de billes que le gagnant avait avant la partie) et comprendre qu’il y a 48 billes en tout.

- Faire quelques parties hypothétiques et découvrir ainsi quelques relations entre les nombres de billes de chaque joueur. Par exemple,

• ... le nombre de billes de Charles doit être 8 avant la troisième partie, et 8 avant la deuxième,
• ... que Charles doit avoir plus de billes qu’Albert avant la première partie, ...

et procéder ainsi par essais successifs pour trouver une configuration de départ qui aboutit à 16 billes pour chaque joueur après la troisième partie (sans savoir si cette configuration est unique).

Ou : reconstituer les avoirs de chacun à partir de la fin de la troisième partie, quand chaque joueur possède 16 billes. Par exemple de la manière suivante, en indiquant les états et les échanges pour chaque partie :

          fin 3e   échanges 3e   fin 2e   échanges 2e   fin 1e   échanges 1e   début 
  Albert    16        0           16         -12          28       +14          14 
  Bernard   16       -8           24         +12          12         0          12 
  Charles   16       +8            8           0           8       -14          22

Ou, algébriquement, reconstituer les échanges à partir d’une situation initiale (a ; b ; c) :

• après la première partie : (2a ; b ; c – a) ;
• après la deuxième partie : (2a – b ; 2b ; c – a)
• après la troisième partie : (2a – b = 16 ; 2b – (c – a) = 16 ; 2(c – a) = 16)

et résoudre le système d’équations.

Notions mathématiques

addition, soustraction, nombre naturel, système d'équations

Résultats

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