Banque de problèmes du RMT
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Dénombrer le nombre de poignées de main dans un groupe de 7 personnes où chacune salue toutes les autres.
Percevoir la situation combinatoire des poignées de mains et la traduire dans le domaine numérique; soit par énumération en tenant compte que si une première personne a déjà échangé une poignées de mains avec une seconde, elle sera déduite du nombres de poignées lors de l'inventaire des poignées de la seconde; soit par produit du nombre de personnes par le nombre de ses "partenaires" (un de moins) suivi d'une division par deux vu que chaque poignée implique deux personnes.
Addition et/ou multiplication de nombres naturels.
dénombrement, combinatoire, nombre triangulaire
Au vu du nombre restreint de classes à qui le problème a été soumis lors de la deuxième épreuve du quatrième "Rallye mathématique romand" (20 de catégorie 3 et 13 de catégorie 4) il n'y a pas de résultats statistiques. En revanche on trouve une analyse dans les rubriques suivantes.
(Extrait de l'article cité en bibliographie: "Entre addition et multiplication" )
A : Interprétations incomplètes de la situation (3 réponses sur 20).
Exemple 1 (3e)
Il y a 14 mains. Calcul : 7 x 2 = 14
Explication : On a fait avec 7 boÎtes d'allumettes + 2 mains qui tiennent chaque boÎte d'allumettes. Alors on a vu ça fait 14 mains en tout.
7) = 7joueurs
2) = 2 mains chaque fois
(avec le dessin de 7 personnages et de leurs mains)
Exemple 2 (3e)
On a fait 7 x 12 =84
Il y a 7 enfants et chaque enfant serre la main 12 fois à chaque enfant.
(avec le dessin d'une ribambelle de 7 enfants se donnant la main)
Exemple 3 (3e)
Il y a 7 joueurs, les 7 joueurs ont tous 2 mains : 2 x 3 = 6
B : Explications par comptage (4 réponses sur 20).
Exemple 4 (4e)
On a mis les 7 joueurs sur la feuille et on a fait un diagramme fléché, et on a trouvé : 24 poignées de mains.
Figure à insérer
Ce cas présente une confusion entre le diagramme fléché d'une relation entre deux ensembles(1 ; 2 ; 3 ; 4) et (5 ; 6 ; 7) et celui d'une relation entre tous les éléments d'un seul ensemble (1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7) due au hasard de la disposition des éléments sur la feuille, où chaque "flèche" est comptée deux fois.
Exemple 5 (4e)
On a dessiné 7 petits ronds qui représentent des bonshommes; on a fait des flèches comme si c'étaient des mains et après on a compté les mains et il y en avait 21.
Exemple 6 (4e)
Il y a en tout 21 poignées de mains échangées.
Deux figure à insérer
Ce dernier exemple est très complet. D'autres présentent seulement un tableau ou une disposition organisée des flèches.
C : Explications qui font appel à l'addition, de façon plus ou moins explicite, avec ou sans dessin à l'appui (4 réponses sur 20)
Exemple 7 (4e)
Ils ont échangé 21 poignées de mains.
Figure à insérer
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21
(sur le dessin apparaissent six flèches d'une couleur, partant de "1", cinq flèches d'une autre couleur partant de "2" etc.)
Exemple 9 (3e)
On a pris 7 crayons comme joueurs et nous avons essayé le premier joueur donne la main à chaque joueur : 6 mains données; après le deuxième joueur a donné la main à chaque joueur sauf au premier joueur qui lui a déjà donné la main, 5 et 6, 11 poignées de mains données; le troisième joueur a aussi donné la main à chaque joueur sauf aux deux premiers et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les joueurs soient passés; alors il y a 21 poignées de mains.
//Dessin de comment on a fait://
(Le dessin représente sept bonshommes stylisés et toutes les flèches correspondantes en couleurs.)
D et E : Appel à la multiplication 7 x 6 = 42, avec ou sans dessin (6 réponses sur 20) ou à la multiplication 7 x 7 = 49 (3 réponses sur 120).
Exemple 10 (4e)
Chacun serre six mains et comme ils sont 7, alors 7 x 6 = 42.
Exemple 11 (4e)
Quand chaque équipe se serre la main, comme il y a 7 personnes dans chaque équipe, alors 7 x 7 = 49.
Remarques
- Aucune des procédures D et E reconnues comme «multiplicatives» (9 sur 20) n'a conduit à la solution exacte.
- L'énoncé contient des mots "incitateurs" de la multiplication : "chaque match", "chacun" ... serre la main de tous les autres.
...
- L'erreur la plus fréquente est "42", ce qui revient à prendre en compte deux fois chaque poignée de mains. Cette difficulté liée aux "deux" mains ne constituant qu'une poignée se manifeste aussi chez les grou- pes qui n'ont pas compris le problème (A).
...
- Sur les neuf solutions accompagnées d'un diagramme avec des flèches ou d'un tableau à double entrée, six sont correctes; les trois autres conduisent à la réponse "42".
Le nombre de solutions examinées est trop faible pour en tirer des analyses statistiques, d'autant plus que certaines explications exigeraient des compléments d'information pour être classées avec certitude dans l'une ou l'autre des catégories observées. Mais ce simple examen des textes et dessins présentés par les groupes fait apparaître globalement trois stratégies de résolution :
- l'inventaire, par énumération exhaustive, de toutes les poignées de mains (ex. 4, 6),
- le décompte par addition où le raisonnement permet d'économiser des étapes (ex. 8) du genre 6 + 5 + ... + 1,
- la procédure de recherche des combinaisons d'un joueur avec chacun des autres qui, dans le cas de l'exemple 10, ne s'est pas révélée efficace.
(Extrait de l'article cité en bibliographie: "Entre addition et multiplication" )
Pour compléter l'étude de ce problème, il faudrait le proposer à des élèves plus âgés pour déterminer les effets de l'âge des élèves sur la réussite et le type de stratégie mise en oeuvre. Il faudrait aussi modifier les valeurs de la variable "nombre" de l'énoncé car il est fort probable que, avec une cin quantaine de joueurs par exemple, la procédure multiplicative deviendrait plus économique que les autres.
On pourrait agir aussi sur d'autres variables du problème ou de son contexte : on peut imaginer des tintements de verres lors d'un cocktail, des parties de football lors du premier tour d'un championnat, l'inventaire de paires de chaussettes de couleurs différentes, etc. Dans chaque cas, on pourra résoudre ce problème selon l'une ou l'autre des stratégies déjà relevées, dont la fréquence d'apparition dépendra, certes, des variables d'énoncé ou de situation. Mais le facteur essentiel déterminant le type de procédure est celui du niveau de développement de celui qui résout le problème et de sa connaissance de ce champ de problèmes.
C'est entre le "débutant" qui rencontre une telle situation pour la première fois et le "mathématicien" qui maîtrise parfaitement la recherche de combinaisons que se manifesteront les différences d'approche, du comptage un à un à l'addition de nombres successifs, puis à la multiplication.
Jaquet. F. (1996). Entre addition et multiplication. Math-Ecole 174, pp 24-28.
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