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Rallye: 10.F.14 ; catégories: 7, 8 ; domaines: AL, OPN
Familles:

• AA - Passer de l'arithmétique à l'algèbre
• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Déterminer un nombre N dont on connaît trois formes de décomposition: r x n tel ; (r+1) x (n-1) - 4 et (r+1) x (n-2).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Noter que le nombre des élèves ne peut être premier et qu’il doit y avoir plus de 2 élèves par rang.

- Procéder par essais, à partir de 4 élèves en décomposant chaque nombre en facteurs et écartant successivement tous les nombres incompatibles avec les conditions de l’énoncé; ou à partir de 2 rangs, en augmentant le nombre d’élèves par rang et écartant successivement toutes les situations incompatibles avec l’énoncé.

- Trouver ainsi 24 élèves sur 3 rangs de 8 au départ.

Ou, algébriquement, supposer qu’il y a n rangs dans la disposition originale et observer que, en retirant 2 étudiants par rang on obtient exactement un rang de la nouvelle disposition, ceux-ci sont donc de 2n élèves et, par conséquent, les rangs de la première disposition avaient 2n + 2 élèves.

En déduire que le nombre d’étudiants est s = n x (2n + 2)

Exemples: n = 2s = 12; n = 3s = 24; n = 4s = 40; n = 5s = 60 ; etc.

Vérifier que seul un des couples (n, s) est acceptable. En effet, la première condition exige que

(n + 1) x (2n + 1) - 4 = n x (2n + 2), et ainsi, on obtient n = 3 et s = 24.

Ou utiliser une schématisation.

Notions mathématiques

équation, décomposition en facteurs

Résultats

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