Bar du parc

Identification

Rallye: 09.II.03 ; catégories: 3, 4 ; domaine: LR
Famille:

• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre total des arrangements de 4 éléments pris un à un, deux à deux, trois à trois et quatre à quatre, dans un contexte de cocktails.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Extraits de l'analyse de M. Vernex. Voir bibliographie

Le problème Bar du Parc fait appel à la combinatoire, avec la recherche de combinaisons et le dénombrement d’une collection d’objets, d’une part, à l’arithmétique, avec l’addition et la multiplication, d’autre part.

L’élève doit comprendre qu’il y a des mélanges de 4 fruits, de 3 fruits, de 2 fruits ou d’un seul fruit et que, pour chacune de ces quatre catégories, il peut y avoir plusieurs choix. De plus, il doit savoir que l’ordre des fruits n’intervient pas et que par conséquent le jus orange – kiwi est le même que le jus kiwi – orange, par exemple.

Lors de l’analyse a priori trois procédures étaient attendues :

1. L’établissement d’une liste organisée en regroupant les jus par nombre de fruits.

2. L’établissement d’une liste organisée en regroupant les jus par fruit, c’est-à-dire en notant tous les jus possibles avec l’ananas, puis ceux avec l’orange, etc... en prenant soin de ne pas avoir de doubles.

3. Procéder par essais successifs au hasard puis éliminer les mélanges identiques.

Notions mathématiques

logique, combinatoire, combinaison, arrangement, dénombrement

Résultats

09.II.03

Sur 71 classes de suisse romande:

Les deux catégories 3 et 4 ne sont pas distinguées, les effectifs réduits n'ayant pas permis de déterminer une variation significative de l'une à l'autre.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Bonne réponse (15) avec détails et explications (liste organisée, diagrammes, calculs, etc.)
• 3 points: Bonne réponse sans explications (seulement la liste, non organisée)
  ou une seule erreur (oubli ou répétition) dans une catégorie, avec liste et explications
• 2 points: Réponse (15) seulement
  ou absence d’une catégorie ou deux ou trois erreurs
• 1 point: Début de recherche, avec 4 à 10 jus trouvés seulement
• 0 point: Moins de 4 jus trouvés ou incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Tout d’abord, il faut noter que par rapport à l’analyse a priori dans laquelle trois procédures avaient été envisagées, deux nouvelles sont apparues : l’organisation des différents jus à l’aide d’un arbre de classement et le calcul de leurs nombres par des opérations arithmétiques (multiplications, additions etc...). Il faut cependant souligner que cette dernière procédure conduit toutes les classes qui l’ont utilisée à un échec (0 ou 1 point)

Sur les 71 copies examinées, la grande majorité, 56 ou 79%, présentent des listes que l'on peut répartir en trois catégories :

- établies en fonction du nombre de fruits, 28

- établies en fonction des types de fruits, 23

- sans que des règles précises n’y apparaissent, comme si elles étaient établies de maniée aléatoire, 5.

On trouve ensuite 6 copies ne présentant que des opérations conduisant à l'échec, 5 copies avec un diagramme en arbre avec une réussite moyenne et 3 copies avec un tableau et une seule copie ne donnant que la réponse, fausse.

Exploitations didactiques

Extrait de l'article de M. Vernex. V. bibliographie

L’intérêt de cette diversité de procédures est de constater que les élèves ont beaucoup d’idées et de moyens pour résoudre ce problème. De plus, même si une des procédures est plus économique, les autres ne conduisent pas forcément à des échecs. Il ne reste qu’à montrer aux élèves cette procédure économique, sans pour autant les obliger à l’utiliser. Ils l’utiliseront lorsqu’ils seront convaincus de sa pertinence.

L'article décrit ensuite une expérimentation du problème en classe, dont la validation des résultat par groupe fait comprendre aux élèves l'intérêt d'organiser de manière rigoureuse l'inventaire.

Bibliographie

Vernex, Michèle. (2001). 'Croisements' et 'Bar du parc' : création et utilisation en classe de deux problèmes de mathématiques. Neuchâtel : IRDP. (01.9). 39 p.

Vernex, Michèle. (2003) Problème 'Bar du parc': analyse et utilisation en classe. In Actes des journées d'études du RMT de Parma et Torre delle Stelle: RMT, potentialité per la classe e la formazione. Ed ARMT, Università di Parma e Cagliari pp 89-104 français-italiano.

Vernex, Michèle. (2004) Problema 'Bar del Parco': analisi e utilizzazione in classe. In L'educazione Matematica Anno XXV Serie VII-Vol 2 pp 1-15 italiano - français

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