Rectangles !

Identification

Rallyes: 09.F.02, 25.I.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: GP
Familles:

• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire

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Résumé

Déterminer le nombre de rectangles que l'on peut observer dans une figure composée de cinq rectangles juxtaposés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Savoir reconnaitre des rectangles dans la figure et, en particulier, comprendre qu’en plus des rectangles élémentaires, il faut prendre en compte tous ceux qui peuvent obtenus par juxtaposition de ces rectangles élémentaires ;

- S’organiser pour ne pas oublier de rectangles et ne pas comptabiliser deux fois le même.

- Pour cela, plusieurs stratégies sont envisageables :

- choisir un rectangle, passer son contour en couleur ou lui attribuer un numéro, recommencer avec un autre, etc. avec le risque à la fin de ne plus pouvoir identifier de nouveau rectangle ;

- identifier et dénombrer les 5 rectangles élémentaires qui composent la figure, puis ceux qui sont obtenus en réunissant 2, puis 3, puis 4 de ces rectangles élémentaires (en s’aidant ou non de coloriage ou en dessinant les rectangles obtenus – voir ci-dessous) ;

Conclure que dans la figure on voit 12 rectangles en tout : les 5 rectangles élémentaires et les 7 rectangles ci-dessous :

Notions mathématiques

rectangle, identification, dénombrement

Résultats

25e rallye

Points attribués, sur 1524 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (12 rectangles) avec indication claire et complète (dessins clairs, liste, ...)
• 3 points: Réponse correcte avec indication (dessins, liste, …) partielle ou peu claire des rectangles (par exemple, une désignation ne permettant pas de bien les distinguer : couleurs superposées et confuses, …)
  ou ou réponse « 11 rectangles ou 13 rectangles », avec une seule erreur (doublon ou oubli) et une explication claire
• 2 points: Réponse « 11 rectangles ou 13 rectangles », avec une seule erreur (doublon ou oubli) et une explication confuse
  ou réponse « de 10 rectangles à 14 rectangles », avec 2 ou 3 erreurs et désignation claire des rectangles
• 1 point: Réponse correcte sans aucune désignation des rectangles
  ou réponse avec plus de trois erreurs et au moins 5 rectangles différents (par exemple les 5 rectangles élémentaires bien désignés)
• 0 point: Incompréhension du problème

Remarque: Les énoncés du 9e et 25e rallye diffèrent légèrement dans le texte d'introduction.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Sur 74 copies de Suisse romande, on trouve les réponses suivantes :

21 copies avec 12 rectangles,

20 copies avec 11 rectangles, en général c'est celui comprenant 4 "rectangles de base" qui est oublié,

18 copies avec de 6 à 10, ou 13, rectangles,

6 copies présentant une subdivision des rectangles de la figure donnée conduisant à un grand nombre de rectangles.

Les oublis sont plus fréquents en catégorie 3 qu'en catégorie 4.

La réponse "12 rectangles" exige une procédure de dénombrement précise.

Soit en désignant chacun des cinq "rectangles de base" par une lettre ou un chiffre, associés par deux (quatre cas), par trois (un cas) et par quatre (un cas). C'est la manière la plus efficace de déterminer le nombre exact de rectangles.

Soit en redessinant les compositions de deux, trois ou quatre rectangles de base.

Soit en entourant les rectangles de couleurs différentes. Dans ce dernier cas, comme il n'est pas possible de distinguer 12 couleurs sur la même figure, celle-ci est redessinée une ou deux fois et ses assemblages coloriés.

On observe encore d'autres procédures, qui n'aboutissent pas à la réponse exacte : flèches reliant deux "rectangles de base", signes marqués sur le côté commun d'un assemblage de deux rectangles, ...