La randonnée cycliste

Identification

Rallye: 18.II.20 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GM, FN
Familles:

• CPX - Traiter des unités de mesure complexes (vitesse, densité, ...)
• CPX/VIT - Déterminer ou tenir compte d'une vitesse
• FU - Etudier le comportement d'une fonction
• FU/GR - Utiliser, établir ou compléter le graphe d’une fonction
• UG - Utiliser un graphique

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer des points de rencontre de deux cyclistes parcourant 100 km à des vitesses différentes et dont l'un s'arrête pour réparation.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Remarquer que toutes les questions portent sur la chronologie de l’histoire. Il faut donc la décrire entièrement en termes d’horaires.

- A la vitesse moyenne de 30 km/h, Pierre a parcouru 50 km en 1 h 40 mn (30 km en une heure et 20 km en 2/3 d’heure). Il a mis 1 h 20 mn pour trouver un pneu et réparer. Il est donc reparti 3 h après le départ de la randonnée, à 11 h.

- A l’endroit où il a crevé, Pierre doit encore faire 50 km, donc 1 h 40 mn de randonnée.

- Pierre a ainsi mis 4 h 40 mn pour parcourir les 100 km. Il est arrivé à 12 h 40, soit 20 mn avant Jean qu’il a donc dépassé.

- À la vitesse moyenne de 20 km/h, Jean parcourt 50 km en 2 h 30 mn. Il a donc rattrapé Pierre à 10 h 30.

- Jean a parcouru les 100 km de la randonnée en 5 heures. Il est arrivé à 13 heures.

- On peut calculer l’heure où Pierre a dépassé Jean en utilisant les équations horaires de leurs déplacements:

• Pour Jean : d_J = 20 t.
• Pour Pierre, après 50 km, 3 heures après leur départ matinal : d_P = 30 (t – 3) + 50.
• L’heure où Pierre dépasse Jean est alors donnée par l’équation 20 t = 30 (t – 3) + 50, d’où t = 4 heures. Pierre a dépassé Jean à midi. Ils avaient alors parcouru 80 km.

Ou : utiliser le graphique pour estimer les coordonnées du point de rencontre : heure et distance parcourue, (4 heures, 80 km)

Ou : faire un raisonnement plus élémentaire grâce à la simplicité des données.

- Quand Pierre est reparti à 11 heures, Jean avait fait 60 km (3 heures à 20 km/h). Pierre avait donc un handicap de 10 km. En une heure il parcourt 30 km, alors que Jean ne fait que 20 km. Pierre a donc dépassé Jean une heure après être reparti, à midi. Jean avait alors fait 80 km.

Notions mathématiques

temps, vitesses, calcul horaire, représentation graphique, représentation cartésienne

Résultats

18.II.20

Points attribués sur 253 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses justes (10 h 30, arrivée de Jean à 13 h, de Pierre à 12 h 40, Pierre dépasse Jean à midi), avec explications claires pour les 3 premières réponses et une méthode cohérente pour la dernière.
• 3 points: Les trois premières réponses justes avec des explications claires et des calculs explicites
• 2 points: Les deux premières réponses justes et justifiées, une erreur de calcul ou d’interprétation pour l’arrivée de Pierre.
• 1 point: La première réponse juste, avec un raisonnement montrant la compréhension de la notion de vitesse.
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Ce problème n’a pas été facile, même si on l’avait prévu pour les élèves plus âgés, de catégories 9 et 10. Les élèves montrent des difficultés pour calculer les vitesses, et aussi pour lire le graphique cartésien. Par exemple, une difficulté que l’on a vue souvent sur un échantillon de copies analysées est de comprendre que Pierre, après avoir crevé un pneu, dépasse à nouveau son ami Jean. Donc, il y a une tendance à répondre seulement par des calculs (souvent faux) sans chercher à interpréter le graphique cartésien qui donne avec évidence la réponse correcte. On voit clairement que les élèves ne sont pas encore capables de coordonner la représentation graphique avec la procédure numérique pour déterminer les vitesses et les temps et donner les réponses à toutes les questions posées.

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