La dernière carte

Identification

Rallye: 18.II.22 ; catégorie: 10 ; domaines: LR, OPN
Familles:

• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste
• STR - Trouver une stratégie

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver la stratégie gagnante d'un jeu de Nim.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- S’approprier les règles du jeu en jouant quelques parties.

- Constater que le premier a trois possibilités au premier coup, que le second a aussi trois possibilités pour le deuxième coup, que le premier a toujours trois possibilités pour le troisième coup et qu’il faut renoncer à dresser l’inventaire de tous les déroulements possibles car ils seront trop nombreux.

- Imaginer que l’issue de la partie se décide lors des derniers coups, lorsqu’il reste peu de cartes et analyser la situation dans ces cas-là, en se plaçant du point de vue du gagnant (ce qu’il faut faire) ou de perdant (ce qu’il ne faut pas faire) :

- si on laisse 1 carte à l’adversaire on est gagnant,

- pour atteindre 1 carte (à laisser à l’adversaire), il faut partir de 2 cartes (et en enlever 1), de 3 cartes (et en enlever 2) ou de 4 cartes ( et en enlever 3) ;

- si on part de 5, on est certain de pouvoir atteindre soit 4, soit 3, soit 2, (les situations ci-dessus).

Il faut donc laisser 5 à l’adversaire, (qui sera obligé de vous laisser 4, 3 ou 2, vous permettant de laisser 1 )

- Dès que les situations 1 et 5 cartes sont reconnues comme « gagnantes pour celui qui les laisse à son adversaire, il faut recommencer l’analyse précédente, à partir de 5 (au lieu de 1) et constater que si on laisse 9 cartes à son adversaire, on gagne aussi à coup sûr. (Éventuellement, pour consolider cette conviction, on peut rejouer des parties avec 9 cartes, envisager les trois coups possibles de son adversaire vers 8, 7 et 6, et constater qu’on est certain de pouvoir attendre 5 à partir de chacune de ces trois situations, puis 1.

- Se rendre compte alors de la « récursivité » (ou répétitivité) de l’analyse et déduire que les situations 13 et 17 cartes laissées à son adversaire sont également gagnantes.

En déduire que, comme on peut atteindre directement 17 cartes à partir de 20, Lucia doit jouer la première en retirant 3 cartes (si non c’est Andrée qui atteindrait 17 à son premier coup).

- Expliquez l’analyse précédente par schémas, textes, diagrammes, ...

Notions mathématiques

jeu, stratégie gagnante

Résultats

18.II.22

Points attribués sur 107 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète et correcte (Lucia doit commencer en retirant 3 cartes, puis laisser à Anna successivement 17, 13, 9, 5 et 1 cartes) avec explications claires
• 3 points: Réponse complète et correcte avec explications peu claires ou incomplètes
• 2 points: Réponse incomplète sans se prononcer sur le début de la partie mais mentionnant les positions gagnantes 9 et 5
• 1 point: Réponse incomplète sans se prononcer sur le début de la partie mais mentionnant la position gagnante 5
• 0 point: Incompréhension du problème

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