Une belle banderole

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Rallye: 18.F.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

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Résumé

Comparer l'aire de 4 triangles recouvrant un rectangle.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que pour dépenser le moins possible, il faudra peindre le triangle le plus grand avec la peinture la moins chère ainsi de suite...

- Comprendre ainsi qu’il faudra comparer les triangles selon leur aire.

- Pour les deux triangles C et D, observer que les mesures des deux bases (sur la longueur du rectangle) sont 9 et 8 en unités reportées sur la longueur. Comme ils ont la même hauteur, en déduire que l’aire de D sera supérieure à celle de C (bien que ce dernier ait des côtés plus longs).

Le même raisonnement s’applique aux deux triangles A et B dont les mesures des bases sont 6 et 5 en unités reportées sur la largeur. Le triangle A aura une aire supérieure à celle de B.

- Pour comparer les aires des quatre triangles, se rendre compte qu’on a besoin d’une unité commune. Il y a alors plusieurs manières de s‘en tirer :

• imaginer le grand rectangle partagé en petits rectangles unités : 17 dans la longueur et 11 dans la largeur. L’aire du triangle rectangle D vaudra donc la moitié d’un rectangle de 9 x 11 rectangles unités, c’est-à-dire 99/2 ou 49,5. L’aire du suivant, C, vaudra, (par un raisonnement analogue mais faisant appel à la « formule » de l’aire d’un triangle) 8 x 11/2 = 88/2 = 44. Selon le même pavage en rectangles unités, le triangle A a une aire de (6 x 17)/2 = 51 et B a une aire de (5 x 17)/2 = 42,5 ;
• avec des rapports en prenant le grand rectangle comme unité, les aires des quatre triangles (depuis la droite) sont les moitiés de 9/17, de 8/17, de 5/11 et de 6/11. Il ne reste qu’à comparer ces quatre fractions en les mettant par exemple au même dénominateur : 99/187 ; 88/187 ; 85/187 et 102/187 ;
• par un calcul algébrique, en désignant par a et b les mesures en cm des unités choisies sur la longueur et sur la largeur du rectangle, exprimer les aires des quatre triangles :
A. (6b × 17a)/2 = 51ab ; B. (5b × 17a)/2 = 42,5ab ; C. (8a × 11b)/2 = 44ab ; D. (9a × 11b)/2 = 49,5ab.

Ou :

- Calculer les aires des quatre triangles après avoir pris les mesures nécessaires à la règle (mais trouvant alors des mesures approximatives).

- Choisir en conséquence la couleur la moins chère pour le plus grand triangle, orange et ainsi de suite. On arrive ainsi aux couleur A en orange, B en jaune, C en bleu et D en vert.

Notions mathématiques

aire, triangle, mesure, comparaison, fraction

Résultats

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