Spirales

Identification

Rallye: 18.F.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/CP - Comparer des aires et/ou des périmètres

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Résumé

Etant donné deux types de spirales: l'une "rectangulaire", formée de segments successifs, l’autre, circulaire, formée de demi-cercles successifs, déterminer le nombre minimum de segments nécessaires pour former une spirale rectangulaire plus longue qu’une spirale circulaire formée de 30 demi circonférences.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre les règles de construction des spirales et voir comment les poursuivre par adjonctions de segments ou de demi circonférences.

- Comprendre qu’il s’agit de déterminer les longueurs des spirales des deux types et que ces mesures dépendent du nombre de segments et de demi circonférences (sont fonction de ce nombre). - Calculer les longueurs de la spirale de type A en observant les premiers segments dessinés et les noter de manière organisée (comme par exemple dans le tableau ci-dessous).

et chercher à trouver des liens entre les nombres des deux suites, selon leur parité par exemple.

- Découvrir que, si le nombre des segments est impair (en désignant par 2n+1 le nombre de segments), la longueur totale, en unités u, est le carré de la moitié du « nombre de segments + 0,5 » (ou (n+1)2 en notation algébrique)alors que, pour les nombres pairs de segments, la longueur totale est le produit de la moitié du nombre de segments par « un de plus que cette moitié » (ou n(n+1) en notation algébrique).

Ou, par voie arithmétique, si le nombre de segments est pair, la longueur des spirales successives s’obtient par la somme suivante :

  1+1+2+2+3+3+…+n+n = 2(1+2+3+…+n) = 2 n(n+1)/2 = n(n+1); 

si, le nombre est impair, c’est-à-dire de la forme 2n+1, on a:

  1+1+2+2+3+3+…+n+n+(n+1) = 2 n(n+1)/2 + (n+1) = n(n+1)+(n+1)= (n+1)2. 

- Calculer les longueurs de la spirale de type B en observant les premières demi circonférences et constater que leurs rayons augmentent régulièrement :

  1/2 u, 1u, 3/2 u, 2 u,… , (n/2) u, … . 

En déduire qu’une spirale de type B, constituée de n demi circonférences a une longueur de:

  π/2 + π + (3/2)π + 2π + … + (n/2)π = π/2(1+2+3+…+n) = (π/2)[n(n+1)/2]= (π/4)[n(n+1)].

et éventuellement arriver à la formula LB(n) = (π/2)[n (n+1) / 2] = (π/4)[ n(n+1)].

- Trouver que la longueur d’une spirale de 30 demi circonférences est, en unité u :

  LB(30) = (1 + 2 + 3 +…+ 30) π /2 = 232,5 π 

et éventuellement en utilisant la formule (π/4)×30×31= 232,5π); en considérant que 3,14 < π < 3,15, on obtient

  730,05 <  LB(30) < 732,375. 

- Comprendre qu’il faut trouver une spirale de type A dont la longueur est supérieure à 733 puis revenir à son nombre de segments.

- À partir, par exemple, des carrés des nombres impairs, constater que le plus proche de 733 est 272 = (n+1)2 = 729 (et que 292 = 841), correspondant à une spirale de type A de 2n+1 = 2×26 + 1= 53 segments. Donc il faut passer à la spirale de type A de 54 = 2n segments et vérifier que sa longueur est 27×28 (= n(n+1)) = 756 (> 732,375).

- Conclure que la spirale de type A recherchée est celle de 54 segments.

Notions mathématiques

régularité, séquence, somme, approximation, spirale

Résultats

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