Banque de problèmes du RMT
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Déterminer quatre nombres différents parmi 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 dont la somme vaut 15 et dont le triple du 4e vaut le premier.
Analyse a priori
- Dans une approche aléatoire, écrire une ou plusieurs combinaisons des quatre nombres et vérifier si elles respectent les conditions.
- Se rendre compte que dresser la liste complète des combinaisons possibles des quatre nombres (360) et que vérifier celles qui respectent les conditions est une tâche trop longue.
Choisir par conséquent une approche tenant compte de l’une des conditions (condition du triple ou de la somme), afin de limiter la recherche et construire de manière déductive les solutions possibles, en tenant compte du fait que les nombres doivent être tous différents.
La condition du « triple » ne donne que deux possibilités pour le premier et le dernier nombre : 3 et 1 ou 6 et 2 ; par essais successifs ou en tenant compte de la somme « 15 », les élèves peuvent arriver aux solutions 3651 et 3561 dans le premier cas, 6432 ou 6342 dans le deuxième cas.
La condition de la somme « 15 » choisie en premier conduit aux quadruplets (6 ; 5 ; 3 ; 1), (6 ; 4 ; 3 ; 2) et à l’inventaire de leurs permutations pour déterminer les quatre solutions.
Ou : calculer la somme des six nombres (21) et en déduire que 21 – 15 = 6 représente la somme des deux nombres non choisis, qui sont : soit 1 et 5, soit 2 et 4. En déduire que les quatre nombres qui pourront être choisis sont : soit 2, 3, 4, et 6 ; soit 1, 3, 5 et 6.
- Remarquer que, comme le premier nombre est le triple du dernier, dans le premier cas, ces deux nombres seront 6 et 2 ; dans le second cas ce seront 3 et 1. Puis comprendre qu’on peut encore dans chaque cas permuter les deux nombres « centraux »
- Exprimer les quatre solutions et donner quelques éléments d’explication (relatifs à l’une des procédures ci-dessus).
addition, soustraction, multiplication, combinatoire, triple
Points attribués sur 872 classes:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 90 (24%) | 116 (32%) | 97 (26%) | 23 (6%) | 42 (11%) | 368 | 1.49 |
| Cat 4 | 48 (10%) | 128 (25%) | 151 (30%) | 51 (10%) | 126 (25%) | 504 | 2.16 |
| Total | 138 (16%) | 244 (28%) | 248 (28%) | 74 (8%) | 168 (19%) | 872 | 1.87 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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