ARMT

Banca di problemi del RMT

ud193-it

centre

Cadono le foglie

Identificazione

Rally: 18.I.05 ; categorie: 3, 4, 5 ; ambiti: GM, GP
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Confrontare le aree di due poligoni (di 8 e 12 lati) disegnati su una quadrettatura, con i cui vertici posti su intersezioni della quadrettatura stessa e i lati che si trovano sui lati o sulle diagonali dei quadretti della quadrettatura, in un contesto di foglie da ritagliare.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere che è necessario confrontare le aree delle due figure

- Contare i quadretti e i semi-quadretti di ciascuna figura uno a uno (metodo soggetto ad errori di conteggio), poi effettuare gli scambi necessari per poterli contare secondo un’unità di misura comune: in quadretti (o semi-quadretti), 61 (122) per la figura verde e 62 (124) per la gialla. (Nel caso in cui si contassero i “pezzetti”, senza tener conto delle loro aree rispettive, si otterrebbero 70 pezzi per la figura verde e 70 per quella gialla).

- Oppure: con una scomposizione opportuna delle figure in rettangoli, quadrati e triangoli, rendersi conto che i triangoli sono metà di quadrati.

- Ricostruire quindi i quadrati “interi” per contarne i quadratini. Per esempio, osservare che la figura verde è composta da due triangoli che costituiscono un quadrato di 4 x 4, da due triangoli che costituiscono un quadrato di 5 x 5 e da un rettangolo di 5 x 4, per un’area di 16 + 25 + 20 = 61 (in quadretti). Nello stesso modo, si possono raggruppare le parti della figura gialla in quattro quadrati di 2 x 2 e due rettangoli di 4 x 10 e 2 x 3 per ottenere un’area di 40 + 6 + 4 x 4 = 62 (in quadretti).

Oppure: procedere ritagliando una delle due foglie per ricoprire l’altra e constatare che manca (o avanza) un pezzo e concludere che la foglia gialla ha un’area maggiore.

Nozioni matematiche

poligono, quadrettatura, area, equivalenza, triangolo, rettangolo, quadrato, trapezio, scomposizione, ricomposizione, transformazione geometrica, unità d’area

Risultati

18.I.05

Su 1352 classes di 21 sezioni partecipanti alla prova

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 3148 (47%)60 (19%)32 (10%)34 (11%)44 (14%)3181.26
Cat 4148 (30%)60 (12%)57 (12%)93 (19%)131 (27%)4892
Cat 5119 (22%)50 (9%)74 (14%)105 (19%)197 (36%)5452.39
Totale415 (31%)170 (13%)163 (12%)232 (17%)372 (28%)13521.98
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati dall’analisi a priori:

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

(Cfr. Grugnetti 2015, Gazzetta n. 4, 75-84)

Come si è visto nella rubrica “attribuzione dei punteggi”, il punteggio 0 contempla il ”ricorso al perimetro per confrontare le figure o conteggio dei pezzi senza tener conto della loro area”.

L’analisi svolta dai membri del gruppo geometria, nelle loro sezioni di appartenenza e ampiamente riportata in Anselmo et al. (2011. Gazzetta di transalpino n. 1), mostra che in effetti, il punteggio 0 è sempre stato attribuito a causa dei due tipi di difficoltà ricordati e non per incomprensione del problema.

E rispetto a tale punteggio, le percentuali vanno decrescendo nel passare dalla categoria 3 (49%, su 290 elaborati) alla 4 (30%, su 489 elaborati) fino alla 5 (22% su 545 elaborati).

Relativamente agli errori sull’assenza di consapevolezza della necessità un’unità comune alcuni elaborati, soprattutto di categoria 3, presentano il conteggio dei 70 pezzi (quadretti e mezzi quadretti) che porta ad una “uguaglianza di aree”.

Questi risultati indicano comunque che ancora in categoria 5 gli allievi incontrano gli ostacoli e le difficoltà più sopra citate, anche se in misura minore. Sarà importante proporre altri problemi similari al fine di verificare ancora l’esistenza delle difficoltà in oggetto, ma anche per cercare di capire a quale età vengano superate.

Il percorso che porta dall’analisi a priori all’analisi posteriori, per tornare a quella a priori, da circolare diventa in qualche modo a spirale, una spirale di percorsi circolari successivi.

In questa sede l’attenzione è posta sulle difficoltà e gli ostacoli, ma è importante ricordare che le analisi a posteriori dei problemi del RMT prendono in considerazione tutta la gamma delle risposte e delle spiegazioni e spesso succede che ci si renda conto di quanti tipi di soluzioni gli allievi prospettino che non erano state “pensate” dagli adulti nella preparazione dell’analisi del compito.

Un bell’esempio è il seguente:


Potremmo ben dire “viva gli allievi”!

Bibliografia

Grugnetti, Lucia (2015). Analisi a priori, analisi a posteriori, oltre il percorso circolare. Gazetta di Transalpino no 4, agosto 2015, pp. 75-94

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