Loterie palindrome

Identification

Rallye: 18.I.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaines: LR, OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons

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Résumé

Trouver le nombre de nombres palindromes de 4 chiffres et l'utiliser dans le calcul du bénéfice d'une loterie où tous les billets de 0000 à 9999 ont été vendus à 4 euros et où les gagnants, les possesseurs d'un billet palindrome, gagnent 250 euros.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre qu’il y a 10000 numéros de quatre chiffres et comment sont composés les numéros «  palindromes ».

- Comprendre qu’un palindrome de quatre chiffres est obtenu à partir de tout couple de deux chiffres suivi des deux mêmes chiffres mais en ordre inverse.

- Comprendre alors qu’il y a autant de palindromes de quatre chiffres que de couples de chiffres de 00 à 99, ou autant que de nombres de 0 à 99, donc 100.

Ou : observer que dans un palindrome de quatre chiffres, le premier et le quatrième sont égaux, comme le sont aussi le deuxième et le troisième. Il y a 10 possibilités pour le premier et le quatrième chiffre, chacune combinée avec 10 possibilités pour le deuxième et le troisième chiffre. Il y a alors en tout 10 × 10 = 100 palindromes de quatre chiffres.

Ou : dresser un inventaire organisé (par exemple, à partir de : 0000, 0110, 1001, 0220, 2002, 0330, 3003, …) observer qu’il y a 19 numéros palindromes qui contiennent le « 0 », puis 17 autres (à partir de 1111 sans compter 0110 et 1001) qui contiennent le « 1 », 15 autres qui contiennent le « 2 » puis, finalement, 1 numéro non encore pris en compte, 9999 qui contient le « 9 ». La somme1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 donne le nombre de numéros palindromes de quatre chiffres.

- Conclure que la loterie gagnera 40 000 euros en vendant tous les billets, qu’elle distribuera 250 × 100 = 25 000 euros aux gagnants et qu’elle fera un bénéfice de 40 000 – 25 000 = 15 000 euros.

Notions mathématiques

numération, palindrome, combinatoire

Résultats

18.I.09

Points attribués sur 1481 classes sur 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (15 000 €) avec explications ou un inventaire complet
• 3 points: Réponse correcte, avec explications incomplètes
• 2 points: Réponse erronée due à une erreur de calcul, dans le dénombrement des palindromes ou dans le calcul du gain
  ou réponses 15 250 € ou 16 250 € due à la prise en compte de 99 ou 81 (9 × 9) palindromes au lieu de 100
  ou réponse 15 246 € en ne comptant que 9999 numéros de quatre chiffres (9999 × 4 – 99 × 250)
  ou seulement la réponse « 25 000 € distribués aux gagnants », sans donner le bénéfice
• 1 point: Début de recherche correct
• 0 point: Incompréhension du problème