Banque de problèmes du RMT
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Trouver le nombre de nombres palindromes de 4 chiffres et l'utiliser dans le calcul du bénéfice d'une loterie où tous les billets de 0000 à 9999 ont été vendus à 4 euros et où les gagnants, les possesseurs d'un billet palindrome, gagnent 250 euros.
Analyse a priori
- Comprendre qu’il y a 10000 numéros de quatre chiffres et comment sont composés les numéros « palindromes ».
- Comprendre qu’un palindrome de quatre chiffres est obtenu à partir de tout couple de deux chiffres suivi des deux mêmes chiffres mais en ordre inverse.
- Comprendre alors qu’il y a autant de palindromes de quatre chiffres que de couples de chiffres de 00 à 99, ou autant que de nombres de 0 à 99, donc 100.
Ou : observer que dans un palindrome de quatre chiffres, le premier et le quatrième sont égaux, comme le sont aussi le deuxième et le troisième. Il y a 10 possibilités pour le premier et le quatrième chiffre, chacune combinée avec 10 possibilités pour le deuxième et le troisième chiffre. Il y a alors en tout 10 × 10 = 100 palindromes de quatre chiffres.
Ou : dresser un inventaire organisé (par exemple, à partir de : 0000, 0110, 1001, 0220, 2002, 0330, 3003, …) observer qu’il y a 19 numéros palindromes qui contiennent le « 0 », puis 17 autres (à partir de 1111 sans compter 0110 et 1001) qui contiennent le « 1 », 15 autres qui contiennent le « 2 » puis, finalement, 1 numéro non encore pris en compte, 9999 qui contient le « 9 ». La somme1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 donne le nombre de numéros palindromes de quatre chiffres.
- Conclure que la loterie gagnera 40 000 euros en vendant tous les billets, qu’elle distribuera 250 × 100 = 25 000 euros aux gagnants et qu’elle fera un bénéfice de 40 000 – 25 000 = 15 000 euros.
numération, palindrome, combinatoire
Points attribués sur 1481 classes sur 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 204 (37%) | 133 (24%) | 141 (26%) | 28 (5%) | 39 (7%) | 545 | 1.2 |
| Cat 6 | 276 (32%) | 226 (26%) | 234 (27%) | 43 (5%) | 94 (11%) | 873 | 1.37 |
| Cat 7 | 114 (16%) | 162 (23%) | 236 (33%) | 63 (9%) | 133 (19%) | 708 | 1.91 |
| Total | 594 (28%) | 521 (25%) | 611 (29%) | 134 (6%) | 266 (13%) | 2126 | 1.51 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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