Banque de problèmes du RMT
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Déterminer la billes d'un poids différent de 11 autres de même poids à partir des informations données par trois pesées réalisées avec une balance à deux plateaux.
Analyse a priori
- Connaître le fonctionnement d’une balance à plateaux (donnée empirique pour les élèves) et en tirer les conséquences sur les figures.
- Comprendre que toutes les billes, sauf une, sont de même masse et que, avec quatre billes sur chaque plateau, la balance peut être équilibrée ou non selon la présence de la bille différente. La deuxième balance étant équilibrée, en déduire que les boules A, E, F, G, H, J, K L sont de même masse et que la boule différente est soit B, soit C, soit D, soit I.
- Examiner alors une balance non équilibrée. Par exemple, la première permet de dire que le plateau de gauche est plus léger et qu’il contient trois des quatre billes qui pourraient être différentes : B, C et D alors que celui de droite contient quatre billes « normales ». En déduire que B ou C ou D est plus légère.
- La troisième balance avec la bille B sur le plateau de gauche et la bille C sur le plateau de droite qui peuvent l’une ou l’autre être différente des autres et envisager les deux possibilités : B est plus lourde ou C est plus légère. La première de ces possibilités est à exclure en fonction de l’examen de la première balance (si B était la bille différente, elle serait plus légère). Il faut donc accepter la seconde possibilité : c’est C qui est la bille différente, et plus légère en fonction de la première balance.
Ou : observer que la bille différente doit figurer tant dans la première que dans la troisième balance et donc être la bille B ou la bille C. En outre, elle doit avoir un effet analogue sur les deux balances (se trouver dans le plateau le plus haut si elle est plus légère, dans le plateau inférieur si elle est plus lourde) ; par conséquent, ce ne peut être que la bille C.
Ou : faire une hypothèse sur la boule qui est différente (plus légère ou plus lourde) et vérifier si l’hypothèse est correcte à partir des 3 schémas.
raisonnement déductif, implication, relation d’équivalence
Le problème a été proposé aux catégories 5 et 6. Se révélant difficile pour la catégorie 5, il n'a pas été repris dams cette catégorie.
Points attribués sur 2045 classes:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 125 (14%) | 35 (4%) | 70 (8%) | 312 (36%) | 333 (38%) | 875 | 2.79 |
| Cat 7 | 40 (6%) | 20 (3%) | 52 (7%) | 235 (33%) | 361 (51%) | 708 | 3.21 |
| Cat 8 | 15 (3%) | 8 (2%) | 55 (12%) | 147 (32%) | 237 (51%) | 462 | 3.26 |
| Total | 180 (9%) | 63 (3%) | 177 (9%) | 694 (34%) | 931 (46%) | 2045 | 3.04 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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